Keplerio dėsniai

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Keplerio dėsniai – trys dėsniai, aprašantys planetų judėjimą. Juos, remdamasis danų astronomo Tycho Brahės Marso stebėjimo duomenimis, XVII a. pradžioje suformulavo vokiečių matematikas Johanas Kepleris (Johannes Kepler). Vėliau Izaokas Niutonas išvedė juos iš Niutono gravitacijos dėsnio. Publikavimo metu Keplerio pažiūros buvo revoliucinės: daugelis astronomų buvo įsitikinę jog planetų orbitos turi būti taisyklingi apskritimai. Žinomiausių planetų orbitos nedaug skiriasi nuo apskritimų, todėl ne iš karto buvo akivaizdu jog tai elipsės.


Pirmasis dėsnis[taisyti | redaguoti kodą]

Pirmojo Keplerio dėsnio iliustracija, Saulę laikant atskaitos kūnu.

Pirmasis Keplerio dėsnis: kiekviena planeta skrieja aplink Saulę elipse, kurios viename židinyje yra Saulė.

Elipsė yra figūra, primenanti ištemptą apskritimą. Svarbu atkreipti dėmesį, kad Saulė yra ne elipsės centre, o viename iš jos židinių. Kitas elipsės židinys fizikinės prasmės neturi.

Kiek daug elipsė yra ištempta, apibūdina fizikinis dydis, vadinamas ekscentricitetu, kuris gali įgyti reikšmes nuo 0 (apskritimas) iki 1 (parabolė). Matematiškai, elipsę labai patogu aprašyti naudojantis poline koordinačių sistema:

r=\frac{p}{1+\varepsilon\, \cos\theta},

kur (rθ) yra elipsės cilidrinės koordinatės, jos židinį laikant atskaitos tašku, p yra pusė atkarpos, jungiančios elipsės taškus, einančios per elipsės židinį (šiuo atveju – Saulę), ir statmenos elipsės ilgajam pusašiui, o ε yra elipsės ekscentricitetas. Planetai, skriejančiai apie Saulę, r yra jos atstumas iki Saulės, o θ yra kampas tarp planetos dabartinės pozicijos ir jos perihelio, Saulę imant kaip kampo viršūnę.

Kai θ = 0°, perihelyje, atstumas yra mažiausias.

r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\varepsilon}.

Kai θ = 90° ir kai θ = 270°, atstumas yra \, p.

Kai θ = 180°, afelyje, atstumas yra didžiausias.

r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\varepsilon}.

Ilgasis pusašis a yra rmin ir rmax: aritmetinis vidurkis:

\,r_\max - a=a-r_\min.

Trumpasis pusašis b yra rmin ir rmax: geometrinis vidurkis:

\frac{r_\max} b =\frac b{r_\min}.

p yra rmin ir rmax: harmoninis vidurkis:

\frac{1}{r_\min}-\frac{1}{p}=\frac{1}{p}-\frac{1}{r_\max}.

Ekscentricitetas gali būti apskaičiuotas kaip

\varepsilon=\frac{r_\mathrm{max}-r_\mathrm{min}}{r_\mathrm{max}+r_\mathrm{min}}.

Antrasis dėsnis[taisyti | redaguoti kodą]

Antrojo Keplerio dėsnio iliustracija. Arčiau Saulės planeta juda greičiau, toliau nuo Saulės - lėčiau, kad per vienodus laiko tarpus apibrėžti plotai būtų vienodi. Žalia rodyklė žymi planetos greitį, violetinė - jėgą, kuria yra traukiama planeta.

Antrasis Keplerio dėsnis: planetos spindulys-vektorius per lygius laiko tarpus apibrėžia lygius plotus.

Įrodymas:

Per mažą laiko tarpą dt\, planeta nubrėš trikampį, kurio pagrindas vdt\,, o aukštis r\,.
Šio trikampio plotas dS=\frac{1}{2}v rdt.
Tada planetos sektorinis greitis \sigma = \frac{dS}{dt}= \frac{1}{2}vr.
Kadangi planetą traukia centrinis kūnas - Saulė, planetą veikiantis jėgos momentas lygus 0 - jėga ir jos petis yra tos pačios krypties. Taigi yra išsaugomas planetos judesio kiekio momentas L=mvr.

Vadinasi, \sigma = \frac{L}{2m}=const.

Trečiasis dėsnis[taisyti | redaguoti kodą]

Trečiasis Keplerio dėsnis: planetų skriejimo aplink Saulę žvaigždinių periodų kvadratai proporcingi jų orbitų ilgųjų pusašių kubams.

\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{T_1^2}{T_2^2}

čia a_1 ir a_2 - kosminių kūnų, skriejančių aplink centrinį kūną, orbitų ilgieji pusašiai, T_1 ir T_2 skriejimo aplink centrinius kūnus periodai.

Žinant centrinio kūno masę, periodą galima apskaičiuoti taip:
T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}},,
čia M - centrinio kūno masė, G - gravitacijos konstanta.

Apibendrintasis trečiasis Keplerio dėsnis (išvestas vėliau matematiškai, Izaoko Niutono) teigia:

\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)}

čia a_1 ir a_2 - kosminių kūnų, skriejančių aplink tą patį centrinį kūną, orbitų ilgieji pusašiai, T_1 ir T_2 skriejimo aplink centrinius kūnus periodai, M - centrinio kūno masė, m_1 ir m_2 - aplink jį skriejančių kūnų masės. Kadangi visoms Saulės sistemos planetoms galioja m_1 , m_2 \ll M , galima labai dideliu tikslumu išmesti planetų mases iš išraiškos, taip sugrįžtant prie pradinės trečiojo Keplerio dėsnio išraiškos.