Hilberto erdvė

Hilberto erdvė gali būti panaudota studijuojant harmoninius eilučių svyravimus.

Matematikos koncepsija Hilberto erdvė, pavadinta David Hilbert garbei, apibendrina Euklidinės erdvės supratimą. Ji praplečia vektorių algebrą ir diferencialinius skaičiavimus iš dviejų arba trijų matavimų Euklidinės plokštumos į baigtinį ar net begalinės dimensijos matavimą. Hilberto erdvė yra abstrakti vektorinė erdvė, kurios struktūroje yra aprėžta vektorinė sandauga, o tai leidžia bet kokio matavimo erdvėje apibrėžti vektoriaus ilgio ir kampo tarp jų sąvokas. Hilberto erdvėje pridedamas reikalavimas tolydumo, to egzistavimas yra pakankama sąlyga ribai kuri ir leidžia taikyti diferencialinio skaičiavimo metodus.

Hilberto erdvė tapo suprantama ir tapo dažnai naudojama Matematika, Fizika ir technologijų srityje dažniausiai begalinės Funkcijos erdvės. Hilberto erdvės tyrinėjimas atsirado nuo taško sąvokos dvidešimto amžiaus pirmame dešimtmetyje to pradininkai buvo: David Hilbert, Erhard Schmidt ir Frigyes Riesz. Jie yra pradininkai dalinių diferencialinių lygčių, kvantinės mechanikos, Fujre analizės ir dinaminių sistemų kurių matematinė pusė yra Termodinamika. John von Neumann suformulavo terminą "Hilberto erdvė" daugybei įvairių šios erdvės taikimų. Hilberto erdvės taikymas yra sėkmingas dėl to jog yra taikoma Funkcinėje analizėje. Neskaitant Euklidinės erdvės į Hilberto erdvės pavyzdžius galime įtraukti ir kvadratinių integruojamų funkcijų erdvę, sekų erdvę, Sobolevo erdvę.

Geometrine interpretacija yra svarbi taikoma Hilberto erdvės teorijoje. Kaip Pitagoro teorema ir lygiagretainio taisyklė taikomos Hilberto erdvėje. Žiūrint giliau projekcija į plokštumą yra svarbi optimizavimo problemoms ir kitiems teorijos aspektams. Kiekvienas Hilberto erdvės elementas gali būti ypatingas ir skirtingas, turėti koordinates kaip Dekarto plokštumos interpretacijoje. Kai koordinačių ašių aibė begalinė, tai Hilberto erdvėje galime laikyti apibrėžtą begalinę seką kuri yra Lebego erdvė. Tiesinis operatorius Hilberto erdvėje yra pakankamai konkretus objektas: tiesiog paprasta transformacija kuri praplečia erdvę bendra statmens kryptimi.

Apibrėžimai ir pavyzdžiai

Pavyzdžiai: Euklido erdvė

Vienas artimiausių pavyzdžių Euklidinė erdvė susidedanti iš trijų dimensijų vektorius, susidedantis iš R³, su skaliarine sandauga. Skaliarinė sandauga x ir y gaunamas realus skaičius x·y. Jei x ir y atvaizduojama Dekarto koordinačių sistemoje, tada skaliarinė sandauga apibrėžta:

$(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$

Skaliarinės sandaugos savybės:

1. Jei x and y tai: x·y = y·x.
2. Jei y tiesinė funkcija tai: (ax₁ + bx₂)·y = ax₁·y + bx₂·y visiems a, b, ir vektoriams x₁, x₂, ir y.
3. Jei teigiamai aprėžta: visiems vektoriui x, x·x ≥ 0 kai tada ir tik tada x = 0.

Ilgis arba(norma) yra apibrėžta ||x|| ir kampas θ tarp x ir y apibrėžimas formule

$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.$

Kelių kintamųjų diferencijavimas Euklido erdvėje galimas nes yra aprėžta riba, ir turi pagalbinį kriterijų ribos egzistavimui aprėžti. Eilučių teorija

$\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n$

susidedanti iš vektorių R³ yra absoliučiai konverguojanti kai jos suma baigtinė:

$\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty.$

Vektorių eilutė konverguoja tada kai:

$\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{as }N\to\infty.$

Apibrėžimai

Hilberto erdvėje H yra aprėžta realiųjų arba kompleksinių skaičių skaliarinė sandauga ir sudaro metrinę edvę su sąlygomis. Sakydami jog H yra kompleksinės erdvės produktas sakome jog H yra kompleksinių vektorių erdvė su 〈x,y〉 su kiekviena elementų pora x,y of H, tenkinančias sąvybes:

• 〈y,x〉 yra Kompleksinis priešingas skaičius 〈x,y〉:

$\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.$

• 〈x,y〉 yra tiesinė funkcija su pirmuoju argumentu. visiems kompleksiniams a ir b,

$\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.$

• Skaliarinė sandauga teigiamai aprėžta:

$\langle x,x\rangle \ge 0$

kur lygybė galima tiktais x = 0.

Realioje erdvėje skaliarinė sandauga yra apibrėžtas tai pat, tik H įgyja realias vertes realioje erdvėje.

Norma 〈•,•〉 yra realiosios vertės funkcija

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},$

ir atstumas tarp dviejų taškų x,y H yra apibrėžiama taip:

$d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.$

Atstumo funkcija turi savybes (1) x ir y atžvilgiu yra simetriška, (2) atstumas tarp x yra nulis nes kitu atveju kai x ir y skirtingi turi būti teigiama (3) trikampio nelygybė sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių ilgių sumą:

$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).$

Ši savybė padeda įvesti dar fundamentalesnę Koši-Švarco nelygybę, kuri teigia

$|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|$

ir lygi tada ir tik tada kai x ir y yra tiesiškai priklausoma.

Santykinis atstumas apibrėžtas ir bet kuri skaliarinė sandauga yra metrinė erdvė, tai pat žinoma kaip Hilberto puserdvė. Hilberto puserdvė yra Hilberto erdvė jei yra galima ją papildyti. Pilnumas yra išreiškiamas naudojant Koši kriterijų sekoms H: Hilberto puserdvė H yra pilna erdvė jei kiekvienai Koši sekai norma konverguoja į erdvės elementą. Pilnumą galima charakterizuoti: jei seka vektorių $\textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k}$ absoliučiai konverguoja tai

$\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,$

tada seka kanverguoja H, jei dalinių sumų riba konverguoja tai pat H.

Kaip pilna normuota erdvė, Hilberto erdvė yra tai pat Banaho erdvė. Taip kaip topologinių vektorių erdvė, kurioje topologija suprantama kaip atviroji aibė ir uždarinys.

Antras pavyzdys: sekų erdvė

Sekų erdvė ℓ² susideda iš baigtinių sekų z = (z₁,z₂,...) iš kompleksinių skaičių eilutės

$\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2$

konverguoja. Skaliarinė sandauga ℓ² apibrėžta

$\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\overline{w_n},$

eilučių konvergavimui taikoma Koši-Švarco nelygybė.