Vektorinė erdvė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Šį straipsnį ar jo skyrių reikėtų peržiūrėti. Būtina ištaisyti gramatines klaidas, patikrinti rašybą, skyrybą, stilių ir pan. Ištaisę pastebėtas klaidas, ištrinkite šį pranešimą ir apie tai, jei norite, praneškite Tvarkos projekte.

Vektorių erdvė (arba linijinė erdvė) yra objektų, vadinamų vektoriais, visuma, kuri paprastai tariant gali būti didinama/ mažinama (scaled) ar pridedama. Dar paprasčiau, vektorių erdvė yra vektorių rinkinys, kuriam gali būti taikomos 2 operacijos, vadinamos papildymu (vektorių) ir didinimu (skalėje) bei kuris tenkina tam tikras žemiau išvardintas aksiomas. Vektorių erdvės yra pagrindiniai linijinės algebros studijų objektai, naudojami matematikoje, moksle ir inžinerijoje.

Pačios paprasčiausios vektorių erdvės yra dvipoliarinės (T.y. 2-jų matmenų) ir tripoliarinės (T.y. 3-jų matmenų) taip vadinamos Euklido erdvės. Šiose erdvėse vektoriai yra išsidėstę sveikų skaičių poromis arba trijulėmis ir dažnai apibūdinami kaip geometriniai vektoriai, su dydžiu ir kryptimi, vaizduojami kaip strėlės. Šie vektoriai gali būti sudedami naudojant paralelogramos taisyklę (vektorių sudėtis) arba dauginami iš sveikų skaičių (daugyba skalėje). Šių operacijų metu geometrinių vektorių elgsena pasiūlo vektorių elgsenos modelį daug abstraktesnėse vektorių erdvėse, kurioms nėra būtina turėti geometrinę interpretaciją. Pvz., (realūs) polinomai suformuoja vektorių erdvę

A vector space is a collection of objects (called vectors) that can be scaled and added.

[taisyti] Formalus apibūdinimas

Leiskime F būti sritimi (kuri yra kaip realus arba sudėtinis skaičius), kurio elementai bus vadinami įverčiais. Vektoriaus nuotolis žemiau srities F yra poslinkis V kartu su dviem dvinariais veiksmais.

• Vektoriu sudėtis: V × V → V reiskia v + w, kur v, w ∈ V, ir
• Skaliarinė daugyba: F × V → V reiskia av, kur a ∈ F and v ∈ V,

paaiskinant žemiau esančia aksioma.

1. Vektorių sudetis yra jungi:

   Visiems u, v, w ∈ V, mes turime u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Vektorių sudetis yra komutatyvi:

   Visiems v, w ∈ V, turime v + w = w + v.

3. Vektorių sudetis turi identiškumo elementą:

   Egzizstuoja elementas 0 ∈ V, vadinamas nuliniu vektoriumi, kur v + 0 = v visiems v ∈ V.

4. Vektorių sudetis turi atvirkštinius veiksmus:

   Visiems v ∈ V, kur egzistuoja elementas w ∈ V, vadinamas priešingybės priedas iš v, kur v + w = 0.

5. Distributyviai laikosi skaliarinei daugybai per vektoriaus pridėjimą:

   For all a ∈ F and v, w ∈ V, we have a (v + w) = a v + a w.

6. Distributyviai laikosi skaliarinei daugybai per lauko pridėjimą:

   For all a, b ∈ F and v ∈ V, we have (a + b) v = a v + b v.

7. Skaliarų daugyba yra derinama su daygyba skaliarų laukuose:

   Visiems a, b ∈ F ir v ∈ V, tur turime (b v) = (ab) v.

8. Skaliarų daugyba turi identiškumo elementą:

   Visiems v ∈ V, turime 1 v = v, kur 1 reiškia daugybos tapatumas į F.

Formaliai, šios aksiomos yra skirtos modeliams, taigi vektoriaus nuotolis gali būti glaustai apibūdinama kaip modulis sritims.

Galima pažymėti, kad anksčiau pateikta septinta aksioma, teigianti a (b v) = (ab) v, neįrodo veiksmų jungiamumo, kol yra du veiksmai tiriami, skaliarų daugyba: b v; ir laukų daugyba: ab.

Kai kurie šaltiniai siūlo renkantis taip pat įtraukti pabaigoje dvi aksiomas:

1. V yra uždaroma po vektorių sudėtimi:

   Jei u, v ∈ V, then u + v ∈ V.

2. V yra uždaroma po skaliarų daugyba:

   Jei a ∈ F, v ∈ V, then a v ∈ V.

Kaip bebūtų, modernus formalus veiksmų supratimas kaip žemėlapių su dominuojančiu V reiškia šių formuluočių apibūdinimus, taigi, panaikina būtinybę įtraukti jas kaip nepriklausomas aksiomas. paskutiniųjų aksiomų pagrįstumas yra pagrindas abipbrėžiant ar vektoriaus erdvės poaibis yra suberdvė Pažymėtina, kad formos išraiška “v a”, kur v ∈ V a ∈ F, yra, griežtai sakant, neapibrėžiami. Dėl komutatyvumo žemiau esantiems laukams, kaip bebūtų, “a v” ir “v a” yra dažnai laikoma sinonimiškai. Be to, jei v ∈ V, w ∈ V, ir a ∈ F kur vektoriaus nuotolis V yra papildomai algebra per lauką F kai a v w = v a w, kuris daro tai patogų laikyti “a v” ir “v a” reprezentuojantį tą patį vektorių.

[taisyti] Elementarios savybės

Yra keletas savybių, kutios tinka taikant vektoriaus nuotolio aksiomas.

• Nulinis vektorius 0 ∈ V yra unikalus:

  Jei 0₁ ir 0₂ yra nuliniai vektoriai poslinkyje V, kuris 0₁ + v = v ir 0₂ + v = v visiems v ∈ V, tada 0₁ = 0₂ = 0.

• Skaliarinė daugyba su nuliniu vektoriumi užleidžia vietą nuliniam vektoriui:

  Visiems a ∈ F, turime a 0 = 0.

• Skaliarinė daugyba iš nuliaus užleidžia vietą nuliniam vektoriui:

  Visiems v ∈ V, turime 0 v = 0, kur 0 reiškia pridėtą identiškumą įF.

• Visos kitos skaliarinės daugybos neužleidžia vietos nuliniam vektoriui:

  Turime a v = 0 jei tik a = 0 ar v = 0.

• Papildoma priešingybė −v iš vektoriaus v yra unikalus:

  Jei w₁ ir w₂ ayra papildoma priešingybė vektriaus v ∈ V, kurisv + w₁ = 0 ir v + w₂ = 0, tai w₁ = w₂. Tai vadiname priešinimu −v ir apibrėžiame w − v ≡ w + (−v).

• Skaliarinė daugyba iš neigimo skaičiaus reiškia vektoriaus papildoma priešingybę:

  Visiems v ∈ V, turime (−1) v = −v, kur 1 reiškia daugybą F.

• Neigimas daromas laisvai:

  Visiems a ∈ F ir v ∈ V, turime (−a) v = a (−v) = − (a v).