Laplaso transformacija

Laplaso transformacija - Pjero Simono Laplaso sukurtas tiesinis operatorius, transformuojantis realiųjų skaičių funkcijas į kompleksinių skaičių funkcijas. Tokiu atveju realiojo kintamojo funkcija vadinama vaizdu, o ją atitinkanti kompleksinio kintamojo funkcija - atvaizdžiu.

Laplaso transformacija apibrėžiama taip:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t) \,dt.$

Čia $i$ - menamasis vienetas, o $0^-$ yra $\lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon \$ . Tokia riba reiškia, kad į integravimo intervalą patenka visa Dirako delta funkcija.

Atvirkštinė Laplaso transformacija yra tokia:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \cdot \infty}^{ \gamma + i \cdot \infty} e^{st} F(s)\,ds.$

Čia γ yra tam tikras realusis skaičius, su kuriuo atvaizdis visame integravimo intervale konverguoja absoliučiai.