Aptarimas:Kompleksinis skaičius

I don't speak your language, but I hope you do understand English. In this article about complex numbers there is a common widepread error. In the definition of a complex number as an expession a+bi, the imaginary unit i should not be defined as ${\sqrt {-1}}$, because it is in this stage unknown what this should mean, and there is the ambiguity of which root to choose, but i should be introduced as imaginary unit with the property $i^{2}=-1$, which property is used in calculating.130.89.222.126 20:38, 11 Rugpjūčio 2006 (EEST)

It is said that i = ${\sqrt {-1}}$ is imaginary, it is not mistake. --Atlantas 20:48, 11 Rugpjūčio 2006 (EEST)

I don't know who said this, but it is not true. After defining complex numbers, without using a square root, it is possible to define a kind of square root for complex numbers. Either it is multiple valued, or a special main value is to be chosen. 130.89.222.126 14:55, 12 Rugpjūčio 2006 (EEST)

Įrodymai

Sudėtis

$(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=a+c+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)\,$

Atimtis

$(a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=a-c+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=ac-bd+(ad+bc)i=(ac-bd,ad+bc)\,$

• $a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a+0)\cdot (1+0)=(a,0)=a$
• $b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=(b\cdot 0+b\cdot i+0\cdot 0+0\cdot 1)=0+bi=(0,b)=bi$

Dalyba

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd+bci-adi}{c^{2}+d^{2}}}=({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}),$

• ${\frac {(a,b)}{(a,b)}}={\frac {a+bi}{a+bi}}=1+0i=(1,0)=1$.
• ${\frac {1}{(c,d)}}={\frac {(1,0)}{(c,d)}}={\frac {1+0i}{c+di}}={\frac {1\cdot c+0\cdot d}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(0\cdot c-1\cdot d)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {c}{c^{2}+d^{2}}}+({\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})i=({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})$.

Dalybos:

$(c+di){\frac {ac+bd+bci-adi}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac^{2}+bcd+bc^{2}i-acdi+acdi+bd^{2}i-bcd+ad^{2}}{c^{2}+d^{2}}}=$

$={\frac {ac^{2}+bc^{2}i+bd^{2}i+ad^{2}}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {c^{2}(a+bi)+d^{2}(bi+a)}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {(c^{2}+d^{2})(a+bi)}{c^{2}+d^{2}}}=a+bi$.

• ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(ac-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$.

Pavyzdys.

$z_{1}=(2+5i),$ $z_{2}=(4+3i)$.

$z=z_{1}z_{2}=(2+5i)(4+3i)=8+6i+20i-15=-7+26i$.

Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).

Gauto vektoriaus z ilgis :$r={\sqrt {(-7)^{2}+26^{2}}}={\sqrt {725}}\approx 26.92582404$.

$r_{1}={\sqrt {2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {29}}\approx 5.385$,

$r_{2}={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}={\sqrt {25}}=5$.

$r=r_{1}r_{2}=5{\sqrt {29}}\approx 26.92582404$.

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

$\phi _{1}=\arccos {\frac {a}{r_{1}}}=\arcsin {\frac {b}{r_{1}}}=\arccos {\frac {2}{\sqrt {29}}}\approx 1.19028995$

$\phi _{2}=\arccos {\frac {c}{r_{2}}}=\arcsin {\frac {d}{r_{2}}}=\arccos {\frac {4}{5}}\approx 0.643501108$

$z=z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=r(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2}))=26.92582404(\cos(1.19028995+0.643501108)+i\sin(1.833791058))=$

$=26.92582404(-0.259973473+0.965615758i)=-6.999999989+25.99999999i$.

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i²=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro $\phi _{1}$=~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro $\phi _{2}$=~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome $z_{1}z_{2}$, tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis $r=r_{1}r_{2}=26.92582404$ ir kuris su x ašimi sudaro $\phi =\phi _{1}+\phi _{2}$=36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius ($r_{1}$ ir $r_{2})$ bei naujo atsiradusio vektoriaus $r=r_{1}r_{2}$ ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Muavro formulė

Didelę reikšmę vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

Kai $\varphi =\pi /2$, tai

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$.

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi =0+i$

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{3}=\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas $\varphi =45$ laipsniai).

Ši formulė taikoma elektronikoje ir fizikoje. x ašis reiškia laiką, o y reiškia amplitudę (pavyzdžiui įtampos arba srovės). Jeigu pasuksime nuo +1 prieš laikrodžio rodyklę 180 laipsnių tai tokių budu pakeisime fazę ir ten kur buvo amplitudės maksimumas taps minimumu, o kur buvo minimumas - ten bus maksimumas.

Nuomonė

Aš galvoju kad užsinietis yra teisus, nors tai menamas skaičius tačiau literatūroje sakoma taip "i yra menamas skaičius kai i↔(0,1) ir tenkina sąlygą $i^{2}=-1$" pagal Korn and Korn "mathematical handbook"--Qwarc 23:45, 2007 rugpjūčio 1 (EEST)

Papildomai kai apibrėžimas per šaknį tai šito žymėjimo subtilybės paaiškintos čia en:Imaginary unit Warninig skyrelyje--Qwarc 23:50, 2007 rugpjūčio 1 (EEST)

kompleksinis skaicius diferencialineje lygtyje

Ispresti diferencialine lygti:

${d^{2}y \over dx^{2}}=-a^{2}y.$

Sprendimas.

$y=e^{rx}$

${dy \over dx}=re^{rx}$

${d^{2}y \over dx^{2}}=r^{2}e^{rx}$

$r^{2}e^{rx}=-a^{2}e^{rx}$

$r^{2}=-a^{2}$

$r_{1}=ia$

$r_{2}=-ia$

$y=Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}=Ae^{iax}+Be^{-iax},$ kur A ir B - konstantos.

$y=A(\cos(ax)+i\sin(ax))+B(\cos(ax)-i\sin(ax))=(A+B)\cos(ax)+(A-B)i\sin(ax)=C\cos(ax)+D\sin(ax),$ kur C=A+B; D=(A-B)i.

Lygties sprendiniai yra $y=\cos(ax),$ $y=\sin(ax)$ ir $y=\cos(ax)+\sin(ax).$