Vektorinė sandauga

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Dviejų vektorių vektorinė sandauga dešiniosios rankos koordinačių sistemoje

Vektorinė sandauga (angl. cross product) — dvinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius c, tenkinantis sąlygas:

  1. \mathbf{c} \perp \mathbf{a} ir \mathbf{c} \perp \mathbf{b} , t.y vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai;
  2. Vektoriaus c ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotui, t.y |\mathbf{c}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b}) ;
  3. Vektorius c nukreiptas taip, kad žiurint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} arba c = [a, b].

Dešiniosis rankos taisyklės taikymas vektoriaus c krypčiai nustatyti

Dažnai sakoma, kad vektoriai a, b ir c, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: nykštį nukreipus vektoriaus a kryptimi, o smilių - vektoriaus b kryptimi, dydisis pirštas rodys vektoriaus c kryptį (žr. paveksliuką).

Vektorinės sandaugos apskaičiavimas[taisyti | redaguoti kodą]

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai i, j ir k tenkina šias lygybes:

 \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k};
 \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i};
 \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}.

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinamos tu vektorių koordinates. Jeigu \mathbf{a}(a_{x}, a_{y}, a_{z}) ir  \mathbf{b}(b_{x}, b_{y}, b_{z}), tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą

 \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{k} & \mathbf{j} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\  b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y}; a_{x}b_{z} - a_{z}b_{x}; a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})

Savybės[taisyti | redaguoti kodą]

Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:

  1. Antikomutatyvumas, t.y \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a};
  2. Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y \lambda(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (\lambda \mathbf{b})
  3. Distributivumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}
  4. Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra koliniarūs, t.y \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} kai a || b
  5. Tenkina Jacobi tapatybę, t.y \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.

Taikymai[taisyti | redaguoti kodą]

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:

S_{lyg} = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|
S_{tr} = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|

Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės ha, nuleistos į pagrindą a, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

h_{a} = \frac{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}

Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternionų daugyba.


Veiksmai su vektoriais

ProdScal1.png

Sudėtis ir atimtis  | Vektorinė sandauga | Skaliarinė sandauga | Mišrioji sandauga |