Vektorinė sandauga

Dviejų vektorių vektorinė sandauga dešiniosios rankos koordinačių sistemoje

Vektorinė sandauga (angl. cross product) — dvinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas

Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius c, tenkinantis sąlygas:

1. $\mathbf{c} \perp \mathbf{a}$ ir $\mathbf{c} \perp \mathbf{b}$, t.y vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai;
2. Vektoriaus c ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotui, t.y $|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \angle (\mathbf{a}, \mathbf{b})$;
3. Vektorius c nukreiptas taip, kad žiurint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ arba c = [a, b].

Dešiniosis rankos taisyklės taikymas vektoriaus c krypčiai nustatyti

Dažnai sakoma, kad vektoriai a, b ir c, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: nykštį nukreipus vektoriaus a kryptimi, o smilių - vektoriaus b kryptimi, dydisis pirštas rodys vektoriaus c kryptį (žr. paveksliuką).

Vektorinės sandaugos apskaičiavimas

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai i, j ir k tenkina šias lygybes:

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k};$

$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i};$

$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}.$

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinamos tu vektorių koordinates. Jeigu $\mathbf{a}(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ ir $\mathbf{b}(b_{x}, b_{y}, b_{z})$, tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{k} & \mathbf{j} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix} = (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y}; a_{x}b_{z} - a_{z}b_{x}; a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x})$

Savybės

Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:

1. Antikomutatyvumas, t.y $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}$;
2. Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y $\lambda(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (\lambda \mathbf{b})$
3. Distributivumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}$
4. Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra statmeni vienas kitam, t.y $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ kai a _|_ b
5. Tenkina Jacobi tapatybę, t.y $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.$

Taikymai

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:

$S_{lyg} = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

$S_{tr} = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|$

Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės h_a, nuleistos į pagrindą a, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

$h_{a} = \frac{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}$

Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternionų daugyba.