Mišrioji sandauga

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Mišrioji vektorių sandauga yra trinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

Mišriąją trijų vektorių sandaugą gauname, kai du vektorius sudauginame vektoriškai, o po to rezultatą dauginame iš trečiojo vektoriaus skaliariškai. Dažniausiai mišrioji sandauga yra užrašoma (a × bc. Mišriosios sandaugos rezultatas yra skaičius.

Mišriosios sandaugos skaičiavimas[taisyti | redaguoti kodą]

Tegu vektorių a, b ir c koordinatės yra (ax, ay, az), (bx, by, bz) ir (cx, cy, cz). Tada mišriąją šių vektorių sandaugą patogu apskaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą, kurį sudaro vektorių koordinatės, t.y

 (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} =
\begin{vmatrix}
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
c_{x} & c_{y} & c_{z} \\
\end{vmatrix}

Geometrinė mišriosios sandaugos modulio prasmė yra gretasienio, kurio tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrį.

Pavyzdys: Raskime gretasienio, kurį sudaro vektoriai a = (1; 0; 0), b = (1; 1; 0) ir c = (1; 1; 1), turį.

Sprendimas: Raskime vektorių mišriąją sandaugą:

 V =
|(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}| =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 1

Matome, kad tokio gretasienio tūris yra lygus 1.

Savybės[taisyti | redaguoti kodą]

Mišrioji sandauga tenkina šias savybes:

  1.  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} = (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \cdot \mathbf{a} = (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = -(\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{c} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{c}) \cdot  \mathbf{b};
  2. Jeigu vektoriai a, b ir c yra vienoje plokštumoje (t.y komplanarūs), tai jų mišrioji sandauga  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} = 0
  3. Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą, tai jų mišrioji sandauga  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} > 0
  4. Jeigu vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą, tai jų mišrioji sandauga  (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c} < 0

Taikymai[taisyti | redaguoti kodą]

Naudojant mišriąją sandaugą galima rasti ne tik gretasienio, tačiau ir piramidės tūrį. Trikampės piramidės, kurios tris kraštinės, išeinančios iš vieno taško, sutampa su vektoriais a, b ir c, tūrio V3p skaičiavimo formulė yra:

 V_{3p} = \frac{1}{6} |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}|

Tarkime, turime keturkampę piramidę EABDC, kurios pagrindą ABCD sudaro vektoriai AB = a ir AD = b, o šoninė kraštinė AE = c. Šios piramidės tūrio V4p skaičiavimo formulė yra:

 V_{4p} = \frac{1}{3} |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}|

Kiekvienos iš šių figūrų aukštinė h, nuleista į pagrindą, kurį sudaro vektoriai a ir b, gali būti apskaičiuota pagal formulę:

 h = \frac{|(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot  \mathbf{c}|}{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}

Mišrioji sandauga taip pat taikoma trijų vektorių komplanarūmui nustatyti. Atskiruoju atveju ji taikoma plokštumos lygčiai gauti.


Veiksmai su vektoriais

ProdScal1.png

Sudėtis ir atimtis  | Vektorinė sandauga | Skaliarinė sandauga | Mišrioji sandauga |