Trigonometrija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Trigonometrija (gr. trigonon – trikampis, metreo – matuoju) – geometrijos šaka, tyrinėjanti sąryšius tarp kampų ir kraštinių geometrinėse figūrose. Pagrindinės trigonometinės funkcijos yra sinusas (\sin x), kosinusas (\cos x), tangentas (\tan x arba \operatorname{tg} x), kotangentas (\cot x arba \operatorname{ctg} x) bei jų atvirkštinės funkcijos.

Istorija[taisyti | redaguoti kodą]

Trigonometrijos ištakas jau galima atsekti anksčiausiuose matematiniuose šaltiniuose Egipto bei Babilono civilizacijose. Babiloniečiai buvo pirmieji, kurie kampų matavimui naudojo laipsnių, minučių ir sekundžių sistemą.

Tačiau daugiausiai prie trigonometrijos prisidėjo graikų matematikai, tarp kurių turbūt žymiausias buvo Hiparchas jau II a. pr. m. e. sudaręs trigonometrinę lentelę, pagal kurią buvo galima rasti kraštinių ilgius. Dabar tai būtų sinusų lentelės atitikmuo. Vėliau šią lentelę patikslino bei išpletė kitas graikų matematikas Ptolemėjas, savo knygoje smulkiai paaiškinęs, kaip rasti nežinomus trikampių dydžius žinant kitus kampus ir kraštines.

Maždaug tuo pat metu Indijos matematikai taip pat aktyviai tyrinėjo šią geometrijos šaką ir pasiekė panašių rezultatų kaip ir graikai. Jau vėliau, VIII a., arabų matematikai perėmė graikų ir indų žinias šioje srityje ir patys pradėjo aktyviai tyrinėti. Maždaug X a. jie išvedė jau penkias trigonometrines funkcijas, įrodė pagrindines teoremas bei sudarė labai tikslią trigonometrinę lentelę, nurodydami sinuso reikšmes kas 1/60 laipsnio.

Vakarų Europa šiuos arabų matematikų tekstus išvertė bei pradėjo naudoti XII a. XIII amžiuje vokiečių matematikas Georgas Jochimas (George Joachim) įvedė šiuolaikišką trigonometrinių funkcijų naudojimą, kurios nurodo kraštinių santykį, o ne vienetinį ilgį, kuriuo rėmėsi indų bei arabų matematikai.

Vėlesniais amžiais būtų galima išskirti škotų matematiko Džono Neperio (XVII a.) ir garsiojo šveicarų matematiko Leonardo Oilerio indėlius į šią matematikos šaką.

Trigonometrinės funkcijos[taisyti | redaguoti kodą]

Rtriangle.png

Sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos gali būti apibrėžtos keliais būdais. Vienas iš jų – pagal statųjį trikampį (dešinėje):

Tada kampo A intervale nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki \frac{\pi}{2} radianų) sinuso funkciją galima apibrėžti kaip kraštinės esančios prieš kampą A ir įžambinės santykį. Arba:

\sin {A} = \frac{a}{c} \; ; \ \sin B = \frac{b}{c} \;

Kosinuso funkcija atitinkamai yra kraštinės esančios šalia ir įžambinės santykis:

\cos {A} = \frac{b}{c} \; ; \ \cos B = \frac{a}{c} \;

Tangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio priešais ir šalia santykis:

\operatorname{tg} {A} = \frac{a}{b} \; ;\ \operatorname{tg} {B} = \frac{b}{a} \;

Kotangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio prie kampo ir prieš kampą santykis:

\operatorname{ ctg} {A} = \frac{b}{a} \; ;\ \operatorname{ ctg} {B} = \frac{a}{b} \;

Trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule cos B = a/c, nes iš jos išplaukia, kad c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos[taisyti | redaguoti kodą]

Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkotangentas yra atvirkštinės funkcijos, atitinkamai, sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui. Taigi, jei sin 30° = 0,5, tai arcsin 0,5 = 30°

Pavadinimas Įprastinis žymėjimas Apibrėžimas Reikšmės, kurias gali įgyti x Reikšmės, kurias gali įgyti y (radianais) Reikšmės, kurias gali įgyti y (laipsniais)
arksinusas y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
arkkosinusas y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
arktangentas y = arctg x x = tg y visi realieji skaičiai −π/2 < y < π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
arkkotangentas y = arcctg x x = ctg y visi realieji skaičiai 0 < y < π 0° < y < 180°

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

Triangulo rectangulo.PNG

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

\alpha = \arcsin\frac{b}{c}

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

\beta = \arcsin\frac{a}{c}

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

\alpha = \arccos\frac{a}{c}

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

\alpha = \arctan\frac{b}{a} ; \ \beta = \arctan\frac{a}{b}

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin−1, cos−1 ir tan−1. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin−1 (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α).

Pagrindinės trigonometrinės lygybės[taisyti | redaguoti kodą]

\sin^2 A+\cos^2 A=1 \;
\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}
\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}
\tan A \; \cot A=1
1+\tan^2 A=\frac{1}{\cos^2 A}
1+\cot^2 A= \frac{1}{\sin^2 A}

Kampų sudėtis ir atimtis[taisyti | redaguoti kodą]

\begin{align}
\sin(A \pm B) &= \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\
\cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\
\tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{align}

Funkcijų sudėtis ir atimtis[taisyti | redaguoti kodą]

\begin{align}
\sin A \pm \sin B &= 2\cdot \sin \left(\frac{A \pm B}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{A \mp B}{2}\right)\\
\cos A + \cos B &= 2\cdot\cos \left(\frac{A + B}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{A - B}{2}\right)\\
\cos A - \cos B &= -2\cdot\sin \left(\frac{A + B}{2}\right)\cdot\sin \left(\frac{A - B}{2}\right)&=2\cdot\sin \left(\frac{A + B}{2}\right)\cdot\sin \left(\frac{B - A}{2}\right)
\end{align}
\tan A \pm \tan B =\frac{\sin(A\pm B)}{\cos A \cos B}
\cot A \pm \cot B =\frac{\sin(B\pm A)}{\sin A \sin B}

Funkcijų daugyba[taisyti | redaguoti kodą]

\begin{align}
\cos(A)\cdot\cos(B) &= \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos (A - B)]\\
\sin(A)\cdot\sin(B) &= -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos (A - B)]\\
\cos(A)\cdot\sin(B) &= \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin (A - B)]\\
\sin(A)\cdot\cos(B) &= \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin (A - B)]
\end{align}

Dvigubo kampo tapatybės[taisyti | redaguoti kodą]

\begin{align}
\sin (2A) &= 2 \sin A \cos A \\
        &= \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A}\\
\cos (2A) &= \cos^2 A - \sin^2 A \\
        &= 2 \cos^2 A -1 \\
        &= 1-2 \sin^2 A \\
        &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\
\tan (2A) &= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\
        &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\
        &= \frac{2}{\cot A - \tan A}
\end{align}
\sin^{2p}(A)\cdot \cos^{2q}(A) =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \cos(2 A)\right)^p \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \cos(2 A)\right)^q.

Trigubo kampo tapatybės[taisyti | redaguoti kodą]

\begin{align}
\sin (3A)=3\sin A-4\sin^3 A \\
\cos (3A)=4\cos^3 A-3\cos A
\end{align}

Keturgubo kampo tapatybės[taisyti | redaguoti kodą]

\sin4A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3\over 8},
\cos4A={\cos(4A)+4\cos(2A)+3\over 8}.

Pusės kampo tapatybės[taisyti | redaguoti kodą]

\begin{align}
\sin \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \\
\cos \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A}
\end{align}
\cot \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=\frac {\sin A}{1-\cos A}=\frac {1+\cos A}{\sin A}

Pusės kampo tapatybių įrodymai[taisyti | redaguoti kodą]

\cos(A)=\cos^2\frac{A}{2}-\sin^2\frac{A}{2},
\cos(A)=\left(1-\sin^2\frac{A}{2}\right)-\sin^2\frac{A}{2}=1-2\sin^2\frac{A}{2}\quad \text{arba} \quad \cos(A)=\cos^2\frac{A}{2} - \left(1-\cos^2\frac{A}{2}\right) = 2\cos^2\frac{A}{2}-1.
Iš čia
\sin^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2},
\cos^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}.
\tan\frac{A}{2}=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}=\frac{\sin\frac{A}{2}\cdot 2\cos\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}\cdot 2\cos\frac{A}{2}}=\frac{2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}{2\cos^2\frac{A}{2}}=\frac{\sin A}{1+\cos A}.

Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]

Vikiteka