Toras (geometrija)

Kitos reikšmės – Toras (reikšmės).

Toras – dviejų apskritimų topologinė sandauga

Toras arba toroidas (lot. torus - išgauba, iškiluma, mazgas) geometrijoje – sukimosi paviršius, kurį apibrėžia apskritimas, besisukantis apie lygiagrečią jo plokštumai ir jo neliečiančią ašį. Toras yra ciklidė – sferų, kurių centrai yra minėto apskritimo taškai, o spindulio ilgis lygus apskritimo spindulio ilgiui, gaubiamasis paviršius (gaubtinė).

Torą galime gauti susukę ratu vamzdį ir sujungę jo galus. Automobilio rato forma irgi artima torui.

Geometrija

Parametrine forma toras aprašomas lygtimis:

$x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,$

$y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,$

$z(u,v)=r\sin {v}\,$

kur

u, v kinta intervale [0, 2π),

R yra atstumas nuo paties toro centro iki išlenkto vamzdžio, formuojančio toro paviršių, centro

r toro paviršių sudarančio vamzdžio spindulys.

Dekarto koordinatėse simetriškam sukimuisi z ašies atžvilgiu toro lygtis bus

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!$

arba:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

Toro paviršiaus plotas ir vidinis tūris gaunami iš:

$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

Be to R>=r. Skaičiuojant tūrį (ar paviršiaus plotą), ilgasis spindulys R baigiasi ten, kur susijungia su mažojo spindulio r centro tašku. Bendresnis toro apibrėžimas leidžia, kad jo generatorius būtų ne tik apskritimas, bet ir elipsė arba net bet kuris kitas kūgio pjūvis.

Topologija

Topologiškai toras yra uždaras paviršius, apibrėžiamas kaip topologinė dviejų apskritimų sandauga: S¹ × S¹.

Nuorodos

• Toro sukūrimas
• „Toras“ iš MathWorld, sukurtas Eric W. Weisstein