Lorano eilutė

Lorano eilutė taške c ir integravimo kontūras γ.

Lorano eilutė – kompleksinės funkcijos f(z) skleidinys laipsnine eilute, kurioje yra ir nariai su neigiamais laipsniais. Pavadinta vardu prancūzų matematiko Pjero Alfonso Lorano, 1843 metais išspausdinusio straipsnį apie šios eilutės savybes. Nors yra teigiama, kad Karlas Vejerštrasas jau 1841 metais atrado tas eilutes, tik kad straipsnis apie tai buvo publikuotas gerokai vėliau, jau po mokslininko mirties.

Apibrėžimas

Kompleksinės funkcijos f(z) Lorano eilutė taške c yra užrašoma:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

Ši eilutė yra dviejų eilučių suma:

1. $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ – narių su neneigiamais laipsniais dalis vadinama reguliarioji Lorano eilutės dalis (klasikinė Teiloro eilutė).
2. $\sum _{n=-\infty }^{-1}{a_{n}}{(z-c)^{n}}$ – dalis su neigiamais laipsniais vadinama pagrindine Lorano eilutės dalimi.

Lorano eilutė konverguoja tik jei konverguoja ir reguliarioji, ir pagrindinė eilutės dalys. Jeigu skleidinys Lorano eilute prasideda (-N)-tuoju nariu, sakoma, kad funkcija turi N-tosios eilės polių.

Koeficientai a_n yra konstantos, aprašomos Koši integraline formule:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-c)^{n+1}}}.\,$

Integravimo kelias $\gamma$ yra savęs nekertantis uždaras kontūras, viduje turintis tašką c, apeinamas laikrodžio rodyklės kryptimi. Taško c aplinkoje funkcija f(z) turi būti holomorfinė (analizinė).