Holomorfinė funkcija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search
Stačiakampė koordinačių sistema (viršuje) po konforminės transformacijos f (apačioje).

Holomorfinė funkcija matematikoje apibrėžia tokią kompleksinio argumento funkciją, kuri yra kompleksiškai diferencijuojama kiekviename argumento taške (griežčiau, – kiekvieno taško aplinkoje). Diferencijuojamumas kompleksine prasme iš esmės reiškia, kad tai yra glodi funkcija, be galo daug kartų diferencijuojama ir kad ją galima išskleisti Teiloro eilute bet kuriame taške.

Dažnai kaip sinonimas holomorfinei funkcijai naudojamas terminas analizinė funkcija. Tačiau pastarasis iš tiesų tai yra platesnis terminas, nes analizinė funkcija gali būti ir neapibrėžta kompleksinių skaičių aibėje. Arba jis gali būti naudojamas matricų teorijoje, apibrėžiant Teiloro eilute skleidžiamas funkcijas su matriciniais argumentais.

Holomorfinės funkcijos kartais vadinamos reguliariosiomis funkcijomis arba konforminiais atvaizdžiais (atvaizdžiai, nekeičiantys kampų tarp kreivių šeimų).

Terminą holomorfinė pirmą kartą panaudojo du Koši doktorantai, Briot (1817–1882) ir Bouquet (1819–1895). Tai yra junginys dviejų graikų kalbos žodžių ὅλος (holos) reiškiantis „visas, vientisas“ ir μορφή (morphē) reiškiantis „formą, išvaizdą“.[1]

Apibrėžimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Funkcija nėra kompleksiškai diferencijuojama taške , kadangi vertė priklauso nuo krypties, kuria artėjama prie nulio. Išilgai realios ašies išvestinė lygi 1, išilgai menamosios ašies −1. Dar kitomis kryptimis gaunamos vėl kitokios vertės.

Turime kompleksinės funkcijos f išvestinę taške z0:

Jei ši riba egzistuoja ir yra vienoda, artėjant prie z0 iš bet kurios pusės, sakome, kad f yra kompleksiškai diferencijuojama tame taške. Skirtumas tarp realaus ir kompleksinio argumento funkcijos diferencijavimo yra toks. Jei kompleksinė funkcija f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) yra holomorfinė, tuomet u ir v turi dalines išvestines x ir y atžvilgiu bei tenkina Koši-Rymano sąlygas:[2]

.

Arba kita formuluotė – taip vadinamoji Virtingerio (Wirtinger) išvestinė f atžvilgiu kompleksiškai jungtinio z yra lygi nuliui:[3]

.

Šaltiniai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  1. Markushevich, A. I. [1977] (2005). Theory of functions of a Complex Variable, 2nd, New York: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3780-X.
  2. Markushevich, A.I.,Theory of Functions of a Complex Variable (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
  3. Gunning, Robert C. & Rossi, Hugo (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall series in Modern Analysis, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, p. xiv+317, <http://books.google.com/books?id=L0zJmamx5AAC&printsec=frontcover&hl=it#v=onepage&q&f=false>