Auksinis trikampis (matematika)

Auksinis trikampis. Kraštinių a/b santykis yra auksinis pjūvis φ. Viršūnės kampas yra $\theta =36^{\circ }$. Kiekvienas kampas prie pagrindo yra lygus 72°.

Auksinis trikampis – lygiašonis trikampis, kurio vienos iš lygių kraštinių ilgio santykis su pagrindo kraštinės ilgiu lygus skaičiui $\varphi$ (aukso pjūviui).

${a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034~.$

Kampai

• Viršūnės kampas yra lygus:

$\theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.$

Taigi auksinis trikampis taip pat yra ir smailusis trikampis.

• Kadangi trikampio kampų suma lygi $\pi$ rad, kiekvienas kampas prie pagrindo yra lygus:

$\beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.$

Pastaba:

$\beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.$

• Auksinis trikampis yra vienintelis trikampis, kurio trijų kampų santykis yra 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°).

Išklotinės

• Auksinis trikampis ir du auksiniai gnomonai (plokštumos figūra, sukurta pašalinus iš didesnio lygiagretainio kampo lygiagretainį, panašų į pirmąjį) iškloja taisyklingąjį penkiakampį.

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Golden Triangle, MathWorld. (angl.)