Trapecija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
1 pav.

Trapecija vadinamas keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nelygiagrečios.
Tas lygiagrečias kraštines vadiname trapecijos pagrindais, kitas dvi kraštines vadiname šoninėmis kraštinėmis. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami trapecijos aukštine. Atkarpą, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadiname trapecijos vidurio linija. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.

Trapecijų rūšys[taisyti | redaguoti kodą]

Lygiašonė trapecija[taisyti | redaguoti kodą]

2 pav. Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė. 2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD. Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs: \angle A=\angle D,\angle B= \angle C

\angle A+\angle C=180 laipsnių. \angle B+\angle D=180 laipsnių.

Stačioji trapecija[taisyti | redaguoti kodą]

Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui, vadinama stačiąja. 3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios BA\perp AD

3 pav. Stačioji trapecija

Trapecijos savybės[taisyti | redaguoti kodą]

  • Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
  • Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
  • Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija), yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

Trapecijos elementų žymėjimas[taisyti | redaguoti kodą]

4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD=d_1,AC=d_2 – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

4 pav. Trapecijos elementai

Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas[taisyti | redaguoti kodą]

Pastaba: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas).
Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:

m\|\;a, m\|\; b; m=\frac{a+b}{2}\;

Trapecijos įstrižainių radimas:

d_1=\sqrt{ab+\frac{d^2a-c^2b}{a-b}}\;; d_2=\sqrt{ab+\frac{c^2a-d^2b}{a-b}}\;

Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:

EF=\frac{2ab}{a+b}\;

Trapecijos perimetras ir pusperimetris:

P=a+b+c+d\;; p=\frac{a+b+c+d}{2}

Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

S=mh\;,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos pusei ir aukštinės sandaugai.

S= \frac{(a+b)}{2} h,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

S=\frac{1}{4}\cdot \frac{a+b}{a-b}\ \sqrt{a-b+c+d}\ \sqrt{a-b-c+d}\ \sqrt{a-b+c-d}\ \sqrt{-a+b+c+d},

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:

S=\frac{1}{2}\;d_1d_2\;\sin\varphi\;