Tiesinė diferencialinė lygtis

Tiesinė diferencialinė lygtis – diferencialinė lygtis, kurios sprendiniai sudaro vektorinę erdvę, jos forma:

$Ly=f\,$

čia diferencialinis operatorius L yra tiesinis operatorius, y yra nežinoma funkcija (tokia yra ir laiko funkcija y(t)) ir dešinioji pusė yra duotoji funkcija ƒ, kurios kilmė ta pati kaip ir y. Funkcija, kuri priklausoma nuo laiko, galima parašyti lygtį

$Ly(t)=f(t)\,$

ir dar tiksliau apskliaudžiant

$L[y(t)]=f(t)\,$

Tiesinis operatorius L laikomas tokios formos

$L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y\,$

Tiesiškumo sąlyga L pašalina tokias operacijas kaip traukimas šaknies iš y, bet leidžia naudoti antrąją y išvestinę. Yra patogu perrašyti šią lygtį į operatoriaus formą

$L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y$

kur D yra diferencialinis operatorius d/dt (pvz., Dy = y' , D²y = y",… )ir A_n yra duotosios funkcijos.

Sakoma, jog tokios lygtys turi eilę n – tai aukščiausiosios y išvestinės rodiklis, kuris yra įtrauktas į lygtį.

Paprasčiausias tiesinės diferencialinės lygties pavyzdys yra radioaktyvaus skilimo modelis. Tegu N(t) reiškia atomų skaičių tam tikroje medžiagoje laiko momentu t. Tada tam tikrai konstantai k > 0 radioaktyviųjų atomų, kurie suskils, skaičius gali būti aprašytas

${\frac {dN}{dt}}=-kN\,$

Jeigu tariame, jog y yra vieno kintamojo funkcija, tai kalbame apie paprastąją diferencialinę lygtį, priešingu atveju išvestinė ir jų koeficientai turi būti suprasti kaip sujungti vektoriai, matricos arba aukščiausio rango tenzoriai, tada turėsime tiesinę dalinių išvestinių diferencialinę lygtį.

Atvejis, kai ƒ = 0 vadinamas homogenine lygtimi ir jos sprendiniai vadinami komplementariosiomis funkcijomis.

Homogeninės lygtys su pastoviaisiais koeficientais

Pirmajį metodą spręsti tiesinėmis paprastosioms diferencialinėms lygtimis realizavo Euleris, jis suprato, jog sprendiniai turi $e^{zx}$ formą galimai kompleksinėms $z$ vertėms. Eksponentinė funkcija yra viena iš nedaugelio funkcijų, kuri išlaiko savo formą po diferencijavimo. Kad gautume sudėtinių funkcijos išvestinių sumą iki nulio, išvestinės turi anuliuoti viena kitą ir tai gali būti tik tada, kai išvestinės turi tą pačią formą kaip ir pradinė funkcija. Taigi, kad išspręstume

$y^{(n)}+A_{1}y^{(n-1)}+\cdots +A_{n}y=0$

nustatome $y=e^{zx}$, kas nuveda į

$z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.$

Dalyba iš e ^zx duoda n-ojo laipsnio polinomą

$F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,$

Ši algebrinė lygtis F(z) = 0 yra charakteringoji lygtis, kurią tyrinėjo Gaspard Monge ir Augustin-Louis Cauchy.

Formaliai pirmosios diferencialinės lygties nariai

$y^{(k)}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).$

yra pakeičiami z^k. Išsprendus polinomą gaunami n z verčių, 'z₁, …, zn. Įstatymas bet kurios iš šių verčių z į e zx duoda sprendinį e zix. Kadangi homogeninės tiesinės diferencialinės lygtys paklūsta superpozicijos pricipui, tai bet kuri tiesinė funkcijų kombinacija tenkina diferencialinę lygtį.

Kai visos šaknys yra skirtingos, mes turi n skirtingų diferencialinės lygties sprendinių. Galima parodyti, jog jos yra tiesiškai nepriklausomos, pritaikant Vandermondo determinantas ir visos kartu formuoja bazių erdvę visų diferencialinės lygties sprendinių.

Kai sprendiniai yra kompleksiniai, tada naudojama Eulerio formulė.

Pavyzdžiai

Duota $y''-4y'+5y=0\,$. Charakteringoji lygtis yra $z^{2}-4z+5=0\,$ kurios šaknys yra 2+i ir 2−i. Todėl sprendinio pagrindas $\{y_{1},y_{2}\}$ yra $\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,$. Dabar y yra sprendinys tada ir tik tada, kai $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,$ konstantoms $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$.

Kadangi koeficientai yra relūs,

• mūsų nedominą kompleksiniai sprendiniai
• mūsų bazės elementai yra kompleksiškai jungtiniai

Tiesinės kombinacijos

$u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}=e^{2x}\cos(x)\,$ ir

$u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\frac {y_{1}-y_{2}}{2i}}=e^{2x}\sin(x)\,$

duos realią bazę $\{u_{1},u_{2}\}$.

Paprastas harmoninis osciliatorius

Antros eilės diferencialinė lygtis

$D^{2}y=-k^{2}y,$

kuri aprašo paprastą harmoninis osciliatorius, gali būti performuluota į

$(D^{2}+k^{2})y=0.$

Išreiškiame lygtį per skliaustus

$(D+ik)(D-ik)y=0,$

kuri turi porą nepriklausomų sprendinių

$(D-ik)y=0$

ir kitas

$(D+ik)y=0.$

Sprendiniai atitinkamai yra

$y_{0}=A_{0}e^{ikx}$

ir

$y_{1}=A_{1}e^{-ikx}.$

Šie sprendiniai užtikrina pagrindą 2D antros eilės diferencialinės lygties vektorių erdvei, tai reiškia, jog tiesinės šių sprendinių kombinacijos taip pat yra sprendiniai. Konkrečiu atveju, pateikiami sprendiniai gali būti konstruojami

$y_{0'}={A_{0}e^{ikx}+A_{1}e^{-ikx} \over 2}=C_{0}\cos(kx)$

ir

$y_{1'}={A_{0}e^{ikx}-A_{1}e^{-ikx} \over 2i}=C_{1}\sin(kx).$

Šie du paskutiniai trigonometriniai sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi, taigi jie gali tarnauti kaip kita bazė sprendinių erdvei

$y_{H}=C_{0}\cos(kx)+C_{1}\sin(kx).$