Kvadratinė lygtis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Matematikoje kvadratinė lygtis — antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:

ax^2+bx+c=0\!

Čia a, b, c – realieji skaičiai, a \ne 0 \,\!.

Pilnoji kvadratinė lygtis[taisyti | redaguoti kodą]

Bendra forma:

ax^2+bx+c=0\,, kai a \ne 0 \,\!, b \ne 0 \,\!, c \ne 0 \,\!.

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

D=b^2-4ac\,

Tada galimi trys atvejai:

  • Jei D > 0\,\! tai lygtis turi du skirtingus sprendinius:
    \begin{align}
 x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a} \\
\end{align}
  • Jei D = 0\,\!, tai lygtis turi vieną sprendinį:
 x = -\frac{b}{2a} . \,\!

Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis.

  • Jei D < 0\,\!, tai lygtis neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje. Tokios lygties sprendiniai yra du kompleksiniai skaičiai:
    \begin{align}
 x_{1,2} &= \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align}

kur \begin{align}i \end{align} yra menamasis vienetas

Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą. Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos 
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
\end{cases}

Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.

Radus sprendinius, galioja lygybė:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\,

Nepilnoji kvadratinė lygtis[taisyti | redaguoti kodą]

Bendra forma:

ax^2=b\,

Sprendimas:

\begin{align}

x^2 & =\frac{b}{a}\\
x_{1,2} & =\pm\sqrt\frac{b}{a}
\end{align}

Kvadratinė lygtis, kurios c=0[taisyti | redaguoti kodą]

Bendra forma:

ax^2+bx=0\,

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

x(ax+b)=0\,

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

\begin{align}
x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax &=-b\\
x &=-\frac{b}{a}
\end{align}

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]