Vijeto teorema

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Matematikoje, tiksliau algebroje, Vijeto teorema yra formulės, siejančios polinomų koeficientus su jų šaknimis. Teorema pavadinta jos sukūrėjo prancūzų matematiko Fransua Vijeto vardu.

Teorema[taisyti | redaguoti kodą]

Pagal fundamentaliąją algebros teoremą, bet koks polinomas,

p(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 \,

kurio laipsnis yra n ≥ 1 (o koeficientai yra realieji arba kompleksiniai skaičiai an ≠ 0) turi n (nebūtinai skirtingų) kompleksinių šaknų x1, x2, ..., xn.

Vijeto teorema sieja polinomų koeficientus { ak } su jų šaknimis { xi }:

\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}

Pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui p(X)=aX^2 + bX + c\, ir jo šaknims x_1, x_2\, kvadratinėje lygtyje p(X)=0\, yra

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

x^2 - x - 6 = 0,\,

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą


\begin{cases}
x_1 + x_2 = \frac{1}{1}\\
x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{1}
\end{cases}

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x1 ir x2 bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x1 ir x2, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui p(X)=aX^3 + bX^2 + cX + d\, ir jo šaknims x_1, x_2, x_3\, lygtyje p(X)=0\, yra

 x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}