Vijeto teorema

Matematikoje, tiksliau algebroje, Vijeto teorema yra formulės, siejančios polinomų koeficientus su jų šaknimis. Teorema pavadinta jos sukūrėjo prancūzų matematiko Fransua Vijeto vardu.

Teorema

Pagal fundamentaliąją algebros teoremą, bet koks polinomas

$p(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 \,$

, kurio laipsnis yra n ≥ 1 (o koeficientai yra realieji arba kompleksiniai skaičiai a_n ≠ 0) turi n (nebūtinai skirtingų) kompleksinių šaknų x₁, x₂, ..., x_n.

Vieto teorema sieja polinomų koeficientus { a_k } su jų šaknimis { x_i }:

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

Pavyzdžiai

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui $p(X)=aX^2 + bX + c\,$ ir jo šaknims $x_1, x_2\,$ kvadratinėje lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^2 - x - 6 = 0,\,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{1}{1}\\ x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{1} \end{cases}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vieto formulės kubiniam polinomui $p(X)=aX^3 + bX^2 + cX + d\,$ ir jo šaknims $x_1, x_2, x_3\,$ lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}$