Algebrinė struktūra

Algebrinė struktūra matematikoje yra aibė su joje apibrėžta viena arba keliomis operacijomis - kompozicijos dėsniais (operacijomis), tenkinančiais tam tikras savybes.

Pagrindinės algebrinės struktūros

Grupoidas

Grupoidas tai yra aibė, kurioje apibrėžtas uždaras kompozicijos dėsnis:

$a+b=c$

Čia $a,b,c$ - aibės elementai, $+$ - kompozicijos dėsnis (bendrąja prasme, nebūtinai sudėtis)

Pusgrupė

Pusgrupė tai yra aibė, kurioje apibrėžtas asociatyvus kompozicijos dėsnis:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

Čia $a,b,c$ - aibės elementai, $+$ - kompozicijos dėsnis (bendrąja prasme, nebūtinai sudėtis)

Monoidas

Monoidas – yra pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:

$a+e=e+a=a$

Čia $e$ yra neutralus elementas.

Grupė

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

$a+a^{-1}=a^{-1}+a=e$

Čia $a^{-1}$ elementas atvirkštinis $a$.

Abelio grupė

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

$a+b=b+a$

Čia $a,b$ - aibės elementai.

Žiedas

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais ($+,\cdot$). Pirmojo kompozicijos dėsnio ($+$) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio ($\cdot$) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

$(a+b)\cdot c=b\cdot c + a\cdot c$

Čia $a,b,c$ aibės elementai.

Kūnas

Kūnas (angl. division ring) tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio ($+$) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio ($\cdot$) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus "0" - pirmojo kompozicijos dėsnio ($+$) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis ($\cdot$) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.