Algebrinė struktūra

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Algebrinė struktūra matematikoje yra aibė su joje apibrėžta viena arba keliomis operacijomis - kompozicijos dėsniais (operacijomis), tenkinančiais tam tikras savybes.

Pagrindinės algebrinės struktūros[taisyti | redaguoti kodą]

Grupoidas[taisyti | redaguoti kodą]

Grupoidas tai yra aibė, kurioje apibrėžtas uždaras kompozicijos dėsnis:

a+b=c

Čia a,b,c - aibės elementai, + - kompozicijos dėsnis (bendrąja prasme, nebūtinai sudėtis)

Pusgrupė[taisyti | redaguoti kodą]

Pusgrupė tai yra aibė, kurioje apibrėžtas asociatyvus kompozicijos dėsnis:

(a+b)+c=a+(b+c)

Čia a,b,c - aibės elementai, + - kompozicijos dėsnis (bendrąja prasme, nebūtinai sudėtis)

Monoidas[taisyti | redaguoti kodą]

Monoidas – pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:

a+e=e+a=a

Čia e yra neutralus elementas.

Grupė[taisyti | redaguoti kodą]

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

a+a^{-1}=a^{-1}+a=e

Čia a^{-1} elementas atvirkštinis a.

Abelio grupė[taisyti | redaguoti kodą]

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

a+b=b+a

Čia a,b - aibės elementai.

Žiedas[taisyti | redaguoti kodą]

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais (+,\cdot). Pirmojo kompozicijos dėsnio (+) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (\cdot) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

(a+b)\cdot c=b\cdot c + a\cdot c

Čia a,b,c aibės elementai.

Kūnas[taisyti | redaguoti kodą]

Kūnas (angl. division ring) tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio (+) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (\cdot) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus "0" - pirmojo kompozicijos dėsnio (+) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas[taisyti | redaguoti kodą]

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis (\cdot) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.