Grupė (algebra)

Grupės – paprasčiausia algebrinė struktūra, aibė, apibrėžiama vienintele binarine operacija (vidinės kompozicijos dėsniu), tenkinančia tam tikras aksiomas. Grupes ir jų savybes nagrinėja algebros mokslo šaka grupių teorija.

Grupės apibrėžimą tenkina dauguma nagrinėtų matematinių struktūrų. Pavyzdžiui, grupės sudėties atžvilgiu yra sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų ir kompleksinių skaičių aibės, grupės daugybos atžvilgiu yra racionalieji skaičiai (be 0), realieji ir kompleksiniai skaičiai.

Grupės plačiai naudojamos matematikoje, kituose tiksliuosiuose moksluose, inžinerijoje. Pavyzdžiui, grupės naudojamos tiriant reliatyvumą, kvantinę mechaniką, dalelių fiziką, taip pat grupėmis išreikštos geometrinės transformacijos naudojamos chemijoje, kompiuterinėje grafikoje.

Savybės

Elementų aibė $G$ vadinama grupe jai apibrėžto aibės elementų kompozicijos dėsnio $*$ atžvilgiu, jei tenkina šias savybes:

Uždarumas

Bet kokiems a, b $G$ grupės elementams, kompozicijos $*$ rezultatas a * b irgi priklauso tai grupei $G$.

Asociatyvumas

Dėsnis $*$ yra asociatyvus, t. y. $(g_1 * g_2) * g_3 = g_1 * (g_2 * g_3)$, bet kokiems grupės $G$ elementams $g_1, g_2, g_3$

Vienetinis elementas

Egzistuoja neutralus elementas $e$ (dar vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė $e * g = g * e = g$

Atvirkštinis elementas

Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu (dar vadinamas atvirkštiniu elementu), t. y. $g * g^{-1} = g^{-1} * g = e$ (g – bet kuris grupės elementas, $g^{-1}$ – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.

Abelio grupė

Jeigu kompozicijos dėsnis $*$ yra komutatyvus, t. y. bet kokiems dviem grupės elementams $a,b$ galioja sąryšis $a*b=b*a$, tokia algebrinė struktūra vadinama Abelio grupe.

Pogrupiai

Grupės pogrupiu vadinami tokie grupės G poaibiai H, kurie tenkina savybes:

• bet kurių dviejų poaibio H elementų sandauga priklauso H;
• kiekvienam poaibio H elementui atvirkštinis elementas priklauso H.

Kiekvienas šias savybes tenkinantis pogrupis taip pat yra grupė.

Pavyzdžiui, racionalių skaičių aibė yra grupė sudėties atžvilgiu, o sveikųjų skaičių aibė yra šios grupės pogrupis.