Zermelo-Frenkelio aibių teorija

Zermelo-Frenkelio aibių teorija – aibių teorijos variantas, besiremiantis aksiomomis, sukurtomis Ernsto Zermelo 1908 m. ir papildytomis Abrahamo Frenkelio bei Toralfo Skolemo.

Zermelo-Frenkelio aibių teorija remiasi pirmojo lygio logika su apibrėžta lygybe. Taip pat pridedamas vienas santykis – priklausymas aibei, žymimas $\in$ ($a\in B$ reiškia, kad $a$ priklauso aibei $B$, yra jos elementas).

Aksiomos

Zermelo-Frenkelio aibių teorijos aksiomos yra šios:

1. Ekstensionalumo aksioma
2. Tuščios aibės aksioma
3. Porų aksioma
4. Visų galimų poaibių aibės aksioma
5. Sąjungos aksioma
6. Begalybės aksioma
7. Atskyrimo aksiomų schema
8. Pakeitimo aksiomų schema
9. Pagrindo aksioma
10. Pasirinkimo aksioma

Ekstensionalumo aksioma teigia, kad aibės yra lygios, kai jos turi tuos pačius elementus:

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]$

Tuščios aibės aksioma teigia, kad egzistuoja tuščia aibė, kuriai niekas nepriklauso:

$\exists x:\neg \exists y(y\in x)$

Tuščia aibė toliau žymima $\emptyset$.

Porų aksioma teigia, kad porai elementų egzistuoja aibė, kurioje jie yra:

$\forall x\forall y\exists z\forall w(w\in z\Leftrightarrow (w=x\lor w=y))$

Aibė, kurioje yra elementai $x$ ir $y$ toliau žymima $\{x,y\}$.

Visų galimų poaibių aibės aksioma teigia, kad egzistuoja aibė, kurioje yra visi duotos aibės poaibiai:

$\forall x\exists y\forall z(z\in y\Leftrightarrow \forall w(w\in z\Rightarrow w\in x))$

Aibė, kurioje yra visi aibės $x$ poaibiai toliau žymima $\wp (x)$, o tai, kad $x$ yra $y$ poaibis – $x\subseteq y$.

Sąjungos aksioma teigia, kad kiekvienai aibei egzistuoja aibė, kuri yra pradinės aibės elementų sąjunga:

$\forall x\exists y\forall z(z\in y\Leftrightarrow \exists w(w\in x\land z\in w))$

Aibės $x$ elementų sąjunga toliau žymima $\cup x$.

Begalybės aksioma teigia, kad egzistuoja bent viena begalinė aibė:

$\exists x[\emptyset \in x\land \forall y(y\in x\Rightarrow \cup \{y,\{y\}\}\in x)]$

Atskyrimo aksiomų schema teigia, kad kiekvienai aibei ir predikatui galima rasti aibę iš pradinės aibės elementų, kuriems predikatas teisingas:

$\forall u_{1}...\forall u_{k}[\forall w\exists v\forall r(r\in v\Leftrightarrow r\in w\land \phi _{x,{\hat {u}}}[r,{\hat {u}}])]$

Pakeitimo aksiomų schema teigia, kad galima aibės elementams pritaikyti funkciją, ir gauti aibę, kurios elementai bus grąžinti tos funkcijos:

$\forall u_{1}...\forall u_{k}[\forall x\exists !y\phi (x,y,{\hat {u}})\Rightarrow \forall w\exists v\forall r(r\in v\Leftrightarrow \exists s(s\in w\land \phi _{x,y,{\hat {u}}}[s,r,{\hat {u}}])]$

Pagrindo aksioma teigia, kad kiekvienoje netuščioje aibėje yra elementas, kuriame nėra jokio šios aibės elemento:

$\forall x[x\neq \emptyset \Rightarrow \exists y(y\in x\land \forall z(z\in x\Rightarrow \neg (z\in y)))]$

Pasirinkimo aksioma teigia, kad jei turime aibę netuščių ir nesikertančių aibių, galime suformuoti aibę, kurioje būtų po vieną elementą iš jų.