Vandens bangų dispersija

Hidrodinamikoje vandens bangų dispersija paprastai remiasi dažnio dispersija. Dažnio dispersija reiškia, kad skirtingo ilgio bangos juda skirtingais fazės greičiais. Vandens bangos, šiame kontekste, yra bangos, susidarančios vandens paviršiuje, jas sukelia gravitacija ir paviršiaus įtempimas. Vanduo su nejudančiu paviršiumi yra laikomas dispersine terpe.

Paviršinės gravitacinės bangos, judančios dėl gravitacijos, susidaro greičiau tam, kad padidintų bangos ilgį. Tam tikro bangos ilgio, gravitacinės bangos gilesniame vandenyje turi didesnį fazės greitį negu seklesniame vandenyje. Skirtingai nuo to, kapiliarinės bangos, sukeltos paviršiaus įtempimo, susidaro greičiau esant trumpesniam bangos ilgiui.

Dažnių dispersijos paviršiaus gravitacijos bangos

---

Šis skyrius yra apie dažnio dispersiją bangoms susidarančioms skystyje dėl gravitacijos.

Bangos sklidimas ir dispersija

Paprasčiausia banga, kurios forma nekinta, yra sinusinė banga. Sinusinės bangos, kuri susidaro vandens paviršiuje, aukštį η (x, t) galima apskaičiuoti pagal formulę:

$\eta (x,t)=a\sin \left(\theta (x,t)\right),\,$

$(1)$

kur a- amplitudė (metrais) ir θ = θ (x, t) yra fazės funkcija (radianais), priklauso nuo horizontalios padėties (x, metrais) ir laiko (t, sekundėmis):

$\theta =2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}\right)=kx-\omega t,$   kur   $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$   ir   $\omega ={\frac {2\pi }{T}},$

$(2)$

kur:

• λ yra bangos ilgis (metrais),
• T yra periodas (sukundėmis),
• k yra bangų kiekis (radianais metre) ir
• ω yra kampinis dažnis (radianais per sekundę).

Būdingos vandens bangos fazės:

• kylantis į viršų nulinis susikirtimas θ = 0,
• bangos ketera at θ = ½ π,
• einantis žemyn nulinis susikirtimas θ = π ir
• bangos įduba θ = 1½ π.

Tam tikra fazė pasikartoja po sveikojo skaičiaus m dauginamo iš 2π: sin(θ) = sin(θ +m • 2 π). Vandens bangoms, ir kitiems bangos reiškiniams fizikoje, yra būdinga tai, kad laisvai sklindančios bangos nenulinė amplitudė egzistuoja tik tada, kai kampinis dažnis ω ir bangų skaičius k (ar ekvivalentiškai bangos ilgis λ ir periodas T) patenkina funkcinį santykį: dažnio dispersijos ryšys

$\omega ^{2}=\Omega ^{2}(k).\,$

$(3)$

Dispersijos atžvilgiu yra du sprendimai: ω = + Ω (k) ir ω-Ω = (K), atitinkamai su bangomis, judančiomis teigiama ir neigiama x-kryptimi. Be bangų skaičiaus k dispersija priklauso nuo keleto kitų parametrų. Gravitacinėms bangoms, pasak linijinės teorijos, šie parametrai yra gravitacijos pagreitis ir vandens gylis. Pradinę bangos fazę θ = θ 0 galima aprašyti erdvės ir laiko funkcija. Jos vėlesnė pozicija apskaičiuojama pagal formulę:

$x={\frac {\lambda }{T}}\,t+{\frac {\lambda }{2\pi }}\,\theta _{0}={\frac {\omega }{k}}\,t+{\frac {\theta _{0}}{k}}.$

$(4)$

Tai rodo, kad fazė juda greičiu:

$c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\Omega (k)}{k}},$

$(5)$

kuris yra vadinamas faziniu greičiu.

Fazinis greitis

Sinusinė banga, mažo paviršinio pakėlimo amplitudės ir su pastoviu bangos ilgiu, juda faziniu greičiu, taip pat vadinamu spartumu ar fazės greičiu. Tuo metu, kai fazės greitis turi kryptį, spartumas ir fazės greitis aprūpina tiktai greičio dydį, o ne jo kryptį. Pagal linijinę teoriją bangoms, sukeltoms gravitacijos, fazės greitis priklauso nuo bangos ilgio ir vandens gylio. Esant pastoviam vandens gyliui, ilgosios bangos (su dideliu bangos ilgiu) susidaro greičiau negu trumpesnės bangos. Iš kairės formulės pusės, matyti, kad seklaus vandens bangos, kurių bangos ilgiai λ daug didesnis už vandens gylį h, juda faziniu greičiu:

$c_{p}={\sqrt {gh}}\qquad \scriptstyle {\text{(seklus vanduo),}}\,$

$(6)$

Kadangi šis seklaus vandens fazės greitis nepriklauso nuo bangos ilgio, tai seklaus vandens bangos neturi dažnio dispersijos. Giliame vandenyje, kai vandens gylis h didesnis už pusę bangos ilgio λ (taip h / λ> 0.5), fazės greitis nepriklauso nuo vandens gylio:

$c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}={\frac {g}{2\pi }}T\qquad \scriptstyle {\text{(gilus vanduo),}}$

$(7)$

kur T bangos periodas (analogas dažnio f, T=1/f). Taigi giliame vandenyje fazės greitis padidėja su bangos ilgiu, ir su periodu. Kadangi fazės greitis patenkina lygybę c_p = λ/T = λf, tai bangos ilgis ir periodas (ar dažnis) yra susieti., Pavyzdžiui, giliame vandenyje:

$\lambda ={\frac {g}{2\pi }}T^{2}\qquad \scriptstyle {\text{(gilus vanduo).}}$

$(8)$

Grupės greitis

Dažnių dispersija bichromatinėse groupėse, kurioms priklauso gravitacinės bangos gilaus vandens paviršiuje. Raudonas taškas juda pagal fazės greitį, žali taškai juda pagal grupės greitį.

Daugiau …
Šiuo giliavandeniu atveju fazės greitis yra du kartus didesnis, nei grupės greitis. Raudonas taškas aplenkia du žalius taškus, kai judama iš kairės į dešinę. Gravitacinėse paviršinėse bangose, vandens dalelių greičiai yra daug mažesni nei fazės greitis, daugeliu atvejų.

Dviejų sinusinių bangų, su skirtingu bangos ilgiu, bet ta pačia amplitude ir sklidimo kryptimi interferencijos rezultatas yra vadinamas bangos grupe. Sekliame vandenyje, grupės greitis yra lygus seklaus vandens fazės greičiui. Taip yra todėl, kad seklaus vandens bangos negali išsiskaidyti. Giliame vandenyje, grupės greitis yra lygus pusei fazės greičio: c_g = ½ c_p. Grupės greitis taip pat yra energijos perdavimo greičis. Tai yra greitis, kuriuo yra perduodama bangos energija horizontalia kryptimi. Kitu atveju, kai grupės greitis skiriasi nuo fazės greičio, pasekmė yra ta, kad bangos grupėje esančių bangų skaičius, skiriasi nuo skaičiaus, kuris yra gautas iš kosmoso fotografijų tam tikru momentu. Grupės greitis yra:

$c_{g}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}.$

$(9)$

Dėl dažnių dispersijos, bangų kiekis erdvėje tam tikru momentu (viršutinė mėlyna linija), skiriasi nuo bangų kiekio grupėje, kuris pastebimas tam tikru metu (apatinė oranžinė linija).

Audros bangos Šiaurės Ramiajame vandenyne, 1989 metų žiema.

Bangos grupėje bangų skaičius, išmatuotoje erdvėje tam tikru momentu, yra: Λ_g / λ. Išmatuotas pastovioje vietoje laiko atžvilgiu, bangų skaičius grupėje yra: τ_g / T. Taigi santykis bangų skaičiaus, išmatuotų erdvėje į išmatuotus laiko atžvilgiu, yra:

${\tfrac {\text{Bangu skaicius erdvėje}}{\text{Bangu skaicius laike}}}={\frac {\Lambda _{g}/\lambda }{\tau _{g}/T}}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}\cdot {\frac {T}{\lambda }}={\frac {c_{g}}{c_{p}}}.$

$(10)$

Taigi giliame vandenyje, su c_g = ½ c_p, bangos grupė turi dukart daugiau bangų laiko atžvilgiu, nei erdvėje. Vandens paviršiaus pakilimas η (x, t), kaip horizontalios padėties funkcija x ir laikas t, pilnos moduliacijos bangos grupei gali būti matematiškai suformuluotas taip:

$\eta =a\,\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+a\,\sin \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right),$

$(11)$

kur:

• a yra bangos amplitudė,
• k₁ ir k₂ yra bangų skaičius,
• ω₁ ir ω₂ yra kampinis dažnis.

ω₁ ir k₁, kaip ir ω₂ ir k₂, turi tenkinti dispersijos ryšį:

$\omega _{1}^{2}=\Omega ^{2}(k_{1})\,$   ir   $\omega _{2}^{2}=\Omega ^{2}(k_{2}).\,$

$(12)$

Naudojant trigonometrines tapatybes, paviršiaus pakilimas gali būti užrašytas taip:

$\eta =\left[2\,a\,\cos \left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\right]\;\cdot \;\sin \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right).$

$(13)$

Dalis tarp laužtinių skliaustų yra lėtai kintančios amplitudės grupės, su grupės bangos ½ skaičiumi (k₁ – k₂) ir grupės kampiniu dažniu ½ (ω₁ – ω₂). Todėl, grupės greitis yra lygus ribai k₁ → k₂:

$c_{g}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\Omega (k_{1})-\Omega (k_{2})}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {{\text{d}}\Omega (k)}{{\text{d}}k}}.$

$(14)$

Daugialypiai bangų modeliai

Paviršiaus gravitacijos bangų dažnių dispersija giliame vandenyje. Superpozicija (tamsiai mėlyna linija) susideda iš trijų sinusinių bangų (šviesiai mėlynos linijos).

Dažnio dispersijos padarinys yra toks, kad bangos juda kaip bangos ilgio funkcija, kad erdvinės ir laikinos susidarančios bangos fazės ypatybės pastoviai pasikeistų. Pavyzdžiui, po gravitacijos, vandens bangos su ilgesniu bangos ilgiu juda greičiau nei trumpesnės vandens bangos. Jūros valstybė – kuri yra: tikros bangos jūroje ar vandenyne – gali būti apibūdinta kaip superpadėtis daugelio sinusinių bangų su skirtingu bangos ilgiu, amplitudėmis, pradinėmis fazėmis ir sklidimo kryptimis. Kiekvienas iš šitų komponentų juda su savu fazės greičiu, pagal išsklaidymo ryšį. Tokio paviršiaus statistika gali būti apibūdinta jo spektriniu tankiu.

Dispersijos ryšys

Žemiau esančioje lentelėje yra pavaizduotas dispersijos ryšys ω² = [Ω(k)]² tarp kampinio dažnio ω = 2 π / T ir bangos skaičiaus k = 2 π / λ, kuris yra duotas, taip pat kaip ir fazė, bei grupės greičiai.

Gravitacijos bangų dažnių dispersija gilaus vandens paviršiuje, sekliame vandenyje ir vidutinio gylio vandenyje, pagal linijinę bangų teoriją
Kiekis	Simbolis	Matavimo vienetai	Gilus vanduo (h > ½ λ)	Seklus vanduo (h < 0.05 λ)	Tarpinis gylis (visi λ ir h)
Dispersijos ryšys	$\displaystyle \Omega (k)$	rad / s	${\sqrt {gk}}={\sqrt {\frac {2\pi \,g}{\lambda }}}$	$k{\sqrt {gh}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\sqrt {gh}}$	${\begin{aligned}&{\sqrt {gk\,\tanh \left(kh\right)}}\,\\[1.2ex]&={\sqrt {{\frac {2\pi g}{\lambda }}\tanh \left({\frac {2\pi h}{\lambda }}\right)}}\,\end{aligned}}$
Fazės greitis	$\displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}$	m / s	${\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {g}{\omega }}={\frac {g}{2\pi }}T$	${\sqrt {gh}}$	${\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh \left(kh\right)}}$
Grupės greitis	$\displaystyle c_{g}={\frac {\partial \Omega }{\partial k}}$	m / s	${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{\omega }}={\frac {g}{4\pi }}T$	${\sqrt {gh}}$	${\frac {1}{2}}c_{p}\left(1+{\frac {2kh}{\sinh \left(2kh\right)}}\right)$
Santykis	$\displaystyle {\frac {c_{g}}{c_{p}}}$	-	$\displaystyle {\frac {1}{2}}$	$\displaystyle 1$	${\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {2kh}{\sinh \left(2kh\right)}}\right)$
Bangos ilgis	$\displaystyle \lambda$	m	${\frac {g}{2\pi }}T^{2}$	$T{\sqrt {gh}}$	for given period T, the solution of:   $\displaystyle \left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}={\frac {2\pi g}{\lambda }}\tanh \left({\frac {2\pi h}{\lambda }}\right)$

Giliame vandenyje, ilgesnio periodo bangos susidaro greičiau ir perduoda savo energiją greičiau. Giliame vandenyje grupės greitis yra lygus pusei fazės greičio.

Paviršiaus įtempimo įtaka

Esant gravitacijos kapiliarinėms bangoms, kurių paviršių veikia įtempimas, dispersijos ryšys yra:

$\omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma }{\rho }}k^{3}\right)\tanh(kh),$

$(15)$

kur σ yra paviršiaus įtempimas (N/m).

Netiesiniai padariniai

---

Seklus vanduo

Amplitudės dispersijos padariniai pasirodo, pavyzdžiui, vienišoje bangoje: viena ketera judančio su pastoviu greičiu sekliame vandenyje su horizontalia įduba. Vienišos bangos aukščio H vandens gylyje h toli nuo bangos keteros judėjimo greitį galima rasti iš Korteweg de Vries lygties:

$c_{p}=c_{g}={\sqrt {g(h+H)}}.$

$(16)$

Taigi šiai netiesinei gravitacinei bangai, tai yra visas vandens gylis po bangos ketera, kuri nustato greitį, su aukštesnėmis bangomis, judančiomis greičiau negu žemesnės bangos. Pažymėkite, kad vienišos bangos sprendiniai egzistuoja tiktai su teigiamomis H vertėmis, vienišos gravitacinės bangos neegzistuoja.

Gilus vanduo

Dispersijos ryšys giliai po vandeniu gali būti aprašomas:

$\omega ^{2}=gk\left[1+(kA)^{2}\right].$

$(17)$

Tai leidžia suprasti, kad didelės bangos juda greičiau nei mažos, nors jos yra to paties dažnio.

Bangos: Doplerio poslinkis

---

Vandens bangos srautas patiria Doplerio poslinkį. Dispersijos ryšys nejudančioje terpėje yra:

$\omega ^{2}=\Omega ^{2}(k),\,$

$(18)$

kur k bangų skaičius. Tuomet vidutinio greičio vektoriaus V dispersijos santykis su Doplerio poslinkio terpe tampa:

$\left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {V} \right)^{2}=\Omega ^{2}(k),$

$(19)$

kur k yra bangų skaičiaus vektorius, susietas su k taip: k = |k|. Skailiarinė sandauga K•V yra lygi V=K•kV cos α, kur V vidutinio greičio vektoriaus V ilgis: V = | A |.

Taip pat skaitykite

• Dispersija
• Benjamin–Bona–Mahony lygtis
• Davey–Stewartson lygtys
• Kadomtsev–Petviashvili lygtis
• Korteweg–de Vries lygtis
• Netiesinė Schrödinger lygtis
• Seklaus vandens lygtys

Literatūra

• Craik, A.D.D. (2004), "The origins of water wave theory", Annual Review of Fluid Mechanics 36: 1–28, doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118 
• Dean, R.G. & Dalrymple, R.A. (1991), Water wave mechanics for engineers and scientists, Advanced Series on Ocean Engineering, 2, World Scientific, Singapore, ISBN 978 981 02 0420 4 
• Dingemans, M.W. (1997), Water wave propagation over uneven bottoms, Advanced Series on Ocean Engineering, 13, World Scientific, Singapore, ISBN 981 02 0427 2 , 2 Parts, 967 pages.
• Lamb, H. (1994), Hydrodynamics (6^th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978 0 521 45868 9  Originally published in 1879, the 6^th extended edition appeared first in 1932.
• Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. (1987), Fluid Mechanics, Course of theoretical physics, 6 (2^nd ed.), Pergamon Press, ISBN 0 08 339932 8 
• Lighthill, M.J. (1978), Waves in fluids, Cambridge University Press, ISBN 0 521 29233 6 
• Phillips, O.M. (1977), The dynamics of the upper ocean (2^nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0 521 29801 6 
• Whitham, G. B. (1974), Linear and nonlinear waves, Wiley-Interscience, ISBN 0 471 94090 9 

Nuorodos

• Mathematical aspects of dispersive waves are discussed on the Dispersive Wiki Archyvuota kopija 2007-04-25 iš Wayback Machine projekto..