Paviršinis integralas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search
 NoFonti.svg  Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.
Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.


 Edit-copy purple-Wikibooks.svg  Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Paviršinis integralas - integralas, skirtas apskaičiuoti kūno paviršiaus plotą. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

Pirmojo tipo paviršinis integralas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę:

Paraboloidas.
  • Apskaičiuosime integralą kur S dalis paraboloido atpjauto plokštuma
Paviršius S, aprašomas lygtimi projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai ). Todėl sritis D yra skritulys Šiame skritulyje funkcijos netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule gauname

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates randame

Antrojo tipo paviršinis integralas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz:

Pavyzdžiai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

  • Apskaičiuosime integralą kur S - viršutinė dalis paviršiaus atkirsta plokštumomis
Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis Pagal formulę randame


  • Apskaičiuosime integralą kur S viršutinė dalis plokštumos atkirsta plokštumomis ir gulinti pirmajame oktante.
Pagal apibrėžimą,

Čia ir - projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje ). Pagal formules ir atitinkamai randame

Todėl

Pakilusi iki pusės nupjauta sfera.
  • Apskaičiuosime integralą pagal viršutinę pusę pusiasferės
Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi

Todėl pagal formulę turime:

kur D - skritulys plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime:

Plokštuma S.
  • Apskaičiuosime integralą pagal viršutine pusę dalies plokštumos gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma

Pagal nustatymą

nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy.

Todėl,