Integruojantis daugiklis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Jump to navigation Jump to search

Integruojantis daugiklis – funkcija, iš kurios padauginus diferencialinę lygtį lengviau randamas jos sprendinys.

Pirmos eilės diferencialinės lygtys[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

Integruojantis daugiklis , turintis paversti kairiąją lygties pusę pilnąja išvestine, bus lygus

Ši išraiška gaunama taip:

Perėjimas tarp antrojo ir trečiojo žingsnio tolygus reikalavimui, kad . Taigi,

Padauginus iš gaunama:

Pasinaudojus funkcijų sandaugos išvestinės pagal taikymo taisykle gaunama:

Pasinaudojant tuo, reiškinys supaprastinamas:

Toliau abi pusės suintegruojamos pagal , pervadinamas į . Gaunama:

Perkėlus eksponentę į dešinę pusę surandamas diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:

Jei (homogeninė diferencialinė lygtis), randama

Čia yra konstanta.

Pavyzdys[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

Matoma, kad

Padauginus abi lygties puses iš gaunama

Pasinaudojus funkcijų santykio išvestinės taisykle gaunama:

arba

o iš čia gaunama

Netiesinė antros eilės diferencialinė lygtis[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

Panaudojus kaip integruojantį daugiklį, gaunama:

Dabar galima abi puses perrašyti tokiu būdu:

Taigi,

Pritaikius kintamųjų atskyrimo metodą, randama

Nuorodos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]