Pereiti prie turinio

Gryno formulė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
   Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

čia integracijos kelias išilgai yra prieš laikrodžio rodyklę.[1][2]

  • Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą kur L - apskritimas
Funkcijos ir netrūkios uždarame rate Todėl pagal Gryno teoremą turime ( ):

  • Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

kai L - apskritimas (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje funkcijos ir bei jų dalinės išvestinės ir yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas kinta nuo iki Vadinasi ( ), kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: Jos išvedamos šitaip:

  • Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei Tada Pagal formulę turime:

Integralas lygus paaviršiui srities D , todėl,

  • Sakykime, analoginiu budu randame, kad

  • Ir, pagaliau, paėmę funkcijas gauname formulę

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime plotą apribotą elipse pagal formulę Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: gauname:

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:

  • Apskaičiuosime darbą jėgos persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.
Pagal sąlyga, Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: [ženklas "" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime kur L - elipsė Todėl

Jei t keistusi nuo 0 iki integralas butu lygus

Taip pat skaitykite

[redaguoti | redaguoti vikitekstą]
  1. Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  2. Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd leid.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.