|
Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas. Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.
|
Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.
čia integracijos kelias išilgai
yra prieš laikrodžio rodyklę.[1][2]
- Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą
kur L - apskritimas ![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1f27078e621122772fdeb967fe85a71be259b5)
- Funkcijos
ir
netrūkios uždarame rate
Todėl pagal Gryno teoremą turime (
):
- Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą
kai L - apskritimas
(a>0), apeinamas teigiama kryptimi.
Kadangi skritulyje
funkcijos
ir
bei jų dalinės išvestinės
ir
yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę.
Turime:
Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas
kinta nuo
iki
Vadinasi (
),
kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.
Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės:
Jos išvedamos šitaip:
![{\displaystyle \iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47d9e9e1002f4c2ecb2235572c9c061232aba22)
- Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei
Tada
Pagal formulę turime:
Integralas
lygus paaviršiui srities D , todėl,
- Sakykime,
analoginiu budu randame, kad
- Ir, pagaliau, paėmę funkcijas
gauname formulę
Pavyzdžiai
- Apskaičiuosime plotą apribotą elipse
pagal formulę
Panaudoję parametrinę lygtį elipsės:
gauname:
Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę
Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:
- Apskaičiuosime darbą jėgos
persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.
- Pagal sąlyga,
Jėgos F(x, y) koordinatės tokios:
[ženklas "
" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime
kur L - elipsė
Todėl
- Jei t keistusi nuo 0 iki
integralas butu lygus ![{\displaystyle {a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0552b70290d459e7b4ff8bab94d2e4892b2c647b)