Gryno formulė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką
 Edit-copy purple.svg  Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

Pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

  • Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą kur L - apskritimas
Funkcijos ir netrūkios uždarame rate Todėl pagal Gryno teoremą turime ( ):

  • Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

kai L - apskritimas (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje funkcijos ir bei jų dalinės išvestinės ir yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas kinta nuo iki Vadinasi ( ), kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas[taisyti | redaguoti kodą]

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: Jos išvedamos šitaip:

  • Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei Tada Pagal formulę turime:

Integralas lygus paaviršiui srities D , todėl,

  • Sakykime, analoginiu budu randame, kad

  • Ir, pagaliau, paėmę funkcijas gauname formulę

Pavyzdžiai

  • Apskaičiuosime plotą apribotą elipse pagal formulę Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: gauname:

Jėgos darbas[taisyti | redaguoti kodą]

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip:

  • Apskaičiuosime darbą jėgos persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.
Pagal sąlyga, Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: [ženklas "" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime kur L - elipsė Todėl

Jei t keistusi nuo 0 iki integralas butu lygus

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]