Fibonačio skaičius

Fibonačio skaičių seka – sveikųjų skaičių seka {F_n}, nusakoma taip: F₀ = 0, F₁ = 1, F_n+1 = F_n + F_n-1. Seka prasideda šiais skaičiais: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Kiekvienas šios sekos skaičius lygus dviejų prieš jį einančių skaičių sumai. Pavadinta viduramžių matematiko Fibonačio vardu.

Binė formulė

Binė lygtis nusako F_n tokia funkcija:

$F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\phi -(-\phi )^{-1}}}$$F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\phi ^{n}-(-\phi )^{-n}}{\phi -(-\phi )^{-1}}}$,

kur $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ – dydis, vadinamas harmoniniu santykiu ar aukso pjūviu.

Fibonačio sekos savybės

Santykis ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ konverguoja į aukso pjūvį $\phi$$\phi$: $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$.

Vikiteka