Dalinė išvestinė

Dalinė išvestinė – atitinkamos kelių kintamųjų funkcijos išvestinė pagal vieną iš kintamųjų, apskaičiuota laikant, kad kiti kintamieji yra konstantos. Dalinės išvestinės naudojamos funkcijoms tirti.

Funkcijos f dalinė išvestinė pagal kintamąjį x žymima f_x, ∂_xf, ∂f/∂x. Pastaroji notacija buvo pasiūlyta Ležandro ir prigijo, kai ją pakartotinai pasiūlė Jakobis. „∂“ čia yra užapvalinta „d“ (paprasta „d“ naudojama išvestinės žymėjime).

Formaliai dalinė išvestinė apibrėžiama analogiškai išvestinei:

${\frac {\partial f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+h,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h}}.$

Vektorius, kurio koordinatės yra kelių kintamųjų funkcjos dalinės išvestinės pagal visus kintamuosius, vadinamas gradientu.

Galima apibrėžti ir aukštesnio laipsnio dalines išvestines. Pavyzdžiui, antro laipsnio dalinė išvestinė yra dalinės išvestinės dalinė išvestinė:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

Aukštesnio laipsnio dalines išvestinės gali būti skaičiuojamos ir skirtingų kintamųjų atžvilgiu. Tada jos vadinamos mišriosiomis, pavyzdžiui,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}=\partial _{xy}f={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$