Vilnelė (matematika)

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Haaro vilnelės grafikas
Daubechies vilnelės D20 (raudonas) ir mastelio funkcijos (mėlynas) grafikai
Mejerio vilnelės grafikas
Vilnelė „Meksikietiška skrybėlė“

Vilnelė (angl. wavelet nuo pranc. ondelette - maža bangelė) - funkcija, leidžianti tirti signalų dažninius komponentus atskiruose laiko intervaluose (naudojant vilnelių transformacijas).

Pagal vieną iš apibrėžimų, vilnele vadinama funkcija, kurios vidurkis yra lygus nuliui:[1]

\int_{-\infty}^{\infty} \psi (t)\, dt = 0.

Įrodoma, kad funkcijos, kuriai teisingos sąlygos

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\, dt <\infty

ir

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 \, dt <\infty,

kitaip tariant,

\psi \in L^1(\R)\cap L^2(\R),

vidurkis yra lygus nuliui, jei ji tenkina priimtinumo sąlygą:[1]

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\hat \psi (\omega)|^2}{|\omega|} d\omega < \infty.

\hat \psi čia yra vilnelės Furjė transformacija.

Pagal kitą apibrėžimą, vilnele vadinama funkcija iš Hilberto erdvės, iš kurios galima suformuoti funkcijų šeimą, sudarančią ortonormuotą bazę Hilberto erdvėje, naudojant formulę:[1]

\psi_{j,k}(t) = 2^{j/2} \psi(2^{j}t - k).

Vilnelė ar vilnelių šeima gali būti nusakyta įvairiais būdais, pavyzdžiui, motinine vilnele ir mastelio funkcija. Turint motininę vilnelę, gali būti rastos vilnelės kitiems masteliams ir laikams:

\psi _{a,b} (t) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right).

Istorija[taisyti | redaguoti kodą]

Pirmąja vilnele laikoma Haaro vilnelė, pasiūlyta 1909 m. vengrų matematiko Alfredo Haaro.[2] 1980 m. Jean Morlet ir Alexander Grossmann pateikė vilnelės apibrėžimą kvantinėje fizikoje.[2] 1985 m. Stéphane G. Mallat aptiko ryšių tarp kvadratūrinių veidrodinių filtrų, piramidinių algoritmų ir ortonormaliųjų vilnelių bazių.[2] Iš dalies naudodamasis šiais rezultatais Yves F. Meyer suformavo pirmąsias netrivialias vilneles.[2] 1987 m. Ingrid Daubechies suformavo vieną iš pagrindinių vilnelių bazių.[2]

Išnašos[taisyti | redaguoti kodą]

  1. 1,0 1,1 1,2 Abul Hasan Siddiqi "Applied functional analysis. Numerical Methods, Wavelet Methods and Image Processing", Marcell Dekker, Inc., 2004
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 A. Graps, "An introduction to wavelets", "IEEE Computational Science & Engineering", Vol. 2, Issue 2, Summer 1995, p. 50-61, ISSN: 1070-9924, [1]

Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]

Commons-logo.svg Vikiteka: Vilnelė (matematika) – vaizdinė ir garsinė medžiaga

Vikiteka