Neapibrėžtinis integralas

Iš pirmykštės funkcijos apibrėžimo aišku, kad, jei funkcija bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų aibė $\lbrace F(x) + C \; | \; C \in (-\infty, +\infty) \rbrace$ vadinama neapibrėžtiniu integralu ir žymima:

$\int f(x) \mathsf{d}x = F(x) + C.$

Čia:

• $f(x)$ – pointegralinė funkcija;
• $f(x)dx$ – pointegralinis reiškinys;
• $F(x)$ – funkcijos $f(x)$ viena iš pirmykščių;
• $C$ – laisvoji konstanta.

Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:

• $\left( \int f(x)\mathsf{d}x \right) ' = f(x);$
• $\mathsf{d}\int f(x)\mathsf{d}x = f(x)\mathsf{d}x;$
• $\int \mathsf{d}F(x) = F(x) + C;$
• $\int (f(x) + g(x))\mathsf{d}x = \int f(x)\mathsf{d}x + \int g(x)\mathsf{d}x.$

Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias diferenciavimui: integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.

Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė

• $\int 0 \cdot dx=C$
• $\int 1 \cdot dx=x+C$
• $\int x^m \; dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C$
• $\int \frac{1}{x} \; dx=\ln|x|+C$
• $\int a^x \; dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$
• $\int e^x \; dx=e^x+C$
• $\int \sin x \; dx=-\cos x+C$
• $\int \cos x \; dx=\sin x+C$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin x+C=-\arccos x+C$
• $\int \frac{dx}{1-x^2} =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C$

Pavyzdžiai

$\int 2x \; \mathsf{d}x =2\int x \; \mathsf{d}x=2 \frac{x^{1+1}}{1+1}+C = x^2 + C$, nes $\left(x^2 + C\right)' = 2x + 0 = 2x$.

Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):

• $\int \frac{\mathsf{d}x}{x^2-9} = \frac{1}{6} \ln \frac{x-3}{x+3} + C.$

• $\int \frac{\cos x \; \mathsf{d}x}{\sqrt{2 + \cos 2x } }=\int{\cos x\;dx\over \sqrt{2+1-2\sin^2 x}}=\int{d(\sqrt{2}\sin x)\over \sqrt{3-2\sin^2 x}}= \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sqrt{3}} + C.$
• $\int \frac{\mathsf{d}x}{\sqrt{{\left(9 - x^2\right)}^3}} = \frac{x}{9 \sqrt{9 - x^2}} + C.$

Taip pat skaitykite

• Apibrėžtinis integralas
• Integralų lentelė
• Integravimo metodai
• Integravimas keičiant kintamąjį
• integravimas dalimis
• Racionaliųjų funkcijų integravimas
• Iracionaliųjų funkcijų integravimas
• Trigonometrinių funkcijų integravimas

Nuorodos

• Integratorius (Wolfram Research)