Trigonometrinių funkcijų integravimas

Straipsnis turėtų prasidėti aiškiu apibrėžimu.
Jei galite, apibrėžkite straipsnio dalyką, pagrindinę sąvoką.

I. Integralai $\int\sin^m x\cos^n x dx,$ kur m, n - sveikieji skaičiai, suvedami į integralą su binominiu diferencialu ir integruojami tik 3 atvejais:

1)n nelyginis;

2)m nelyginis;

3)m+n lyginis.

Jei n nelyginis, taikome keitinį $\sin x=t,$ jei m nelyginis, taikome keitinį $\cos x=t;$ jei $m+n$ lyginis, keičiame $\tan x=t;$ $\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};\;dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

II.Integralai $\int\sin x\cos x dx$ (be laipnsių) suvedami į racionaliųjų funkcijų integralus keitiniu $\tan\frac{x}{2}=t.$ Tada $\sin x=\frac{2t}{1+t^2};\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};\;dx=\frac{2\; dt}{1+t^2}.$

Pavyzdžiai

$\int\frac{dx}{3+\sin x+\cos x}.$ $\tan\frac{x}{2}=t;$ $\frac{x}{2}=\arctan t;$ $x=2\arctan t;$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2};$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};$ $dx=d(2\arctan t)=\frac{2\; dt}{1+t^2}.$

$\int\frac{dx}{3+\sin x+\cos x}=\int\frac{\frac{2\;dt}{1+t^2}}{3+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int\frac{\frac{2\;dt}{1+t^2}}{\frac{2(t^2+t+2)}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t^2+t+2}=\int \frac{dt}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}=$ $=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2t+1}{\sqrt{7}}+C=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \frac{2\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt{7}}+C.$

$\int\frac{dx}{5\cos^2 x+9\sin^2 x}.\;\tan x=t;\;\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}};\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};\;dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

$\int\frac{\frac{dt}{1+t^2}}{5(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2+9(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})^2}=\int \frac{dt}{5+9t^2}=\frac{1}{3\sqrt{5}}\arctan\frac{3t}{\sqrt{5}}+C.$

$\int\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}dx=\int\frac{(1-\sin^2 x)^2}{\sin^2 x}dx=\int(\frac{1}{\sin^2 x}-2+\sin^2 x)dx=-\cot x-2x+\frac{1}{2}\int(1-\cos(2x))dx=$

$=-\cot x-\frac{3x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}+C.$

$\int\frac{\sin^2 x}{\cos^6 x}dx.$ Skaičiai m ir n lyginiai, $m=2,$ $n=-6,$ $m+n=-4$ lyginis, todėl taikome keitnį $\tan x=t;$ $\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}};$ $\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2}=1+t^2;$ $\frac{dx}{\cos^2 x}=\frac{\frac{dt}{1+t^2}}{(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2}=dt.$

$\int\frac{\sin^2 x}{\cos^6 x}dx=\int t^2(1+t^2)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+C=\frac{\tan^3 x}{3}+\frac{\tan^5 x}{5}+C.$

$\int\frac{\cot x\; dx}{1-\sin x-\cos x}=\int\frac{\cos x\; dx}{\sin x(1-\sin x-\cos x)}=\int \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{2\; dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}(1-\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2})}=$

$=\int\frac{\frac{2(1-t^2)dt}{(1+t^2)^2}}{\frac{2t+2t^3-4t^2-2t+2t^3}{(1+t^2)^2}}=\int\frac{2(1-t)(1+t)dt}{4t^3-4t^2}=-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t})dt=\frac{1}{2}(\cot\frac{x}{2}-\ln|\tan \frac{x}{2}|)+C,$ kur $\tan\frac{x}{2}=t;\;\sin x=\frac{2t}{1+t^2};\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};\;dx=\frac{2\; dt}{1+t^2}.$

III. Integralams $\int R(x,\;\sqrt{a^2-x^2})dx=\int x^{\pm 1}(\sqrt{a^2-x^2})^{\pm 1}dx$ taikomi ketiniai $x=a\sin t,$ $x=a\tan t$ arba $x=\frac{a}{\sin t}.$

Pavyzdžiai

$\int x\sqrt{9-x^2}dx=\int 3\sin t\sqrt{9-9\sin^2 t}\cdot 3\cos t\; dt=9\int \sin t \frac{3\sqrt{9-9\sin^2 t}}{3}\cdot \cos t\; dt=$

$=27\int \sin t \cos t\cos t\; dt=-27\int\cos^2 t \;d(\cos t)=-27\frac{\cos^3 t}{3}+C=-9(1-\sin^2 t)\sqrt{1-\sin^2 t}+C=$ $=-9(1-\frac{x^2}{3^2})\sqrt{1-\frac{x^2}{3^2}}+C=-\frac{1}{3}(9-x^2)\sqrt{9-x^2}+C,$ kur $3\sin t=x;$ $\sin t =\frac{x}{3};$ $dx=3\cos t dt.$

$\int\frac{dx}{x\sqrt{a^2+x^2}}=\int\frac{a\;dt}{a\cos^2 t\cdot\tan t\sqrt{a^2\tan^2 t}}=\frac{1}{a}\int\frac{dt}{\sin t}=\frac{1}{a}\ln|\frac{1-\cos t}{\sin t}|+C=$

$=\frac{1}{a}\ln|\frac{1}{\sin t}-\cot t|+C=\frac{1}{a}\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}-a}{x}|+C,$ kur $x=a\tan t;$ $dx=\frac{a}{\cos^2 t};$ $\tan t=\frac{x}{a};$ $\cot t=\frac{a}{x};$ $\frac{1}{\sin t}=\sqrt{1+\cot^2 t}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}.$