|
Straipsnis turėtų prasidėti aiškiu apibrėžimu. Jei galite, apibrėžkite straipsnio dalyką, pagrindinę sąvoką.
|
Trigonometrinių funkcijų integravimas – integravimo technika, kai trigonometrinės funkcijos yra pakeičiamos kitomis išraiškomis. Trys įprastai naudojamos išraiškos yra apribotas sinusas, apribotas tangentas ir apribotas sekantas.[1]
I. Integralai
kur m, n - sveikieji skaičiai, suvedami į integralą su binominiu diferencialu ir integruojami tik 3 atvejais:
- 1)n nelyginis;
- 2)m nelyginis;
- 3)m+n lyginis.
Jei n nelyginis, taikome keitinį
jei m nelyginis, taikome keitinį
jei
lyginis, keičiame
II.Integralai
(be laipnsių) suvedami į racionaliųjų funkcijų integralus keitiniu
Tada
Pavyzdžiai
![{\displaystyle dx=d(2\arctan t)={\frac {2\;dt}{1+t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141b501afce1f0ba974e4213d91ffeb6d40e2668)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{5\cos ^{2}x+9\sin ^{2}x}}.\;\tan x=t;\;\sin x={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}};\;\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}};\;dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9035051e3c39bf8b9fb1dd5be21c049b98307a)
![{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{4}x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {(1-\sin ^{2}x)^{2}}{\sin ^{2}x}}dx=\int ({\frac {1}{\sin ^{2}x}}-2+\sin ^{2}x)dx=-\cot x-2x+{\frac {1}{2}}\int (1-\cos(2x))dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efc5215319000ae4cb4f6cdd914bf32f072f38f)
Skaičiai m ir n lyginiai,
lyginis, todėl taikome keitnį
![{\displaystyle {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}={\frac {\frac {dt}{1+t^{2}}}{({\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}})^{2}}}=dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f125a99c0a96ea3aff794c9091723c13a282a9b)
![{\displaystyle \int {\frac {\cot x\;dx}{1-\sin x-\cos x}}=\int {\frac {\cos x\;dx}{\sin x(1-\sin x-\cos x)}}=\int {\frac {{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\cdot {\frac {2\;dt}{1+t^{2}}}}{{\frac {2t}{1+t^{2}}}(1-{\frac {2t}{1+t^{2}}}-{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}})}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aedbd5f18ebc38b17c07b78c0eedeb6be6e5aa)
kur
III. Integralams
taikomi ketiniai
arba
Pavyzdžiai
![{\displaystyle \int x{\sqrt {9-x^{2}}}dx=\int 3\sin t{\sqrt {9-9\sin ^{2}t}}\cdot 3\cos t\;dt=9\int \sin t{\frac {3{\sqrt {9-9\sin ^{2}t}}}{3}}\cdot \cos t\;dt=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7c8bd7c84818aec427ec490de1d219d29aa439)
kur
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}=\int {\frac {a\;dt}{a\cos ^{2}t\cdot \tan t{\sqrt {a^{2}\tan ^{2}t}}}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {dt}{\sin t}}={\frac {1}{a}}\ln |{\frac {1-\cos t}{\sin t}}|+C=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba207cda3d9656785ce97d75d4a3a04d3dc00c4)
kur