Taisyklingasis 65537-kampis

Kompiuteriu sukurtas taisyklingojo 65537-kampio vaizdas

Taisyklingasis 65537-kampis – taisyklingasis daugiakampis, turintis 65537 kampus. Žmogaus akiai ši figūra mažai kuo skiriasi nuo apskritimo. Daugiakampis reikšmingas tuo, jog jį galima nubraižyti skriestuvu ir liniuote.

Geometrinis pagrindimas

65537 yra didžiausias žinomas pirminis Fermio skaičius:

$65537=2^{2^{4}}+1$.

Todėl reikšmės $\cos {\frac {\pi }{65537}}$ ir $\cos {\frac {2\pi }{65537}}$ (32768 laipsnių kampo funkcijos) yra algebriniai skaičiai.

Taigi žinant algoritmą tokią figūrą iš esmės galima nubraižyti skriestuvu bei liniuote, nors praktiškai tai padaryti labai sunku (maždaug 200 metrų skersmens figūros kraštinių ilgis būtų tik apie 1 cm).

Atradimo istorija

Nors jau 1801 Carl Friedrich Gauss žinojo jog figūra nubraižoma, braižymo seką pirmą kartą paskelbė Johann Gustav Hermes 1894 metais. Tai labai sudėtinga seka, kurią pateikiantis straipsnis užima 200 puslapių (Hermes tam sugaišo dešimt metų). Šio straipsnio originalas saugomas Getingeno universitete. Dabar žinomi ir alternatyvūs braižymo būdai.

Kiti šaltiniai mini labai aktyvų aspirantą, kuriam netekęs kantrybės vadovas davė šią braižymo užduotį, kad paliktų jį ramybėje. Aspirantas grįžo tik po 20 metų, tačiau su uždavinio sprendimu.

Savybės

Šios figūros kampų suma lygi 23592600°, plotas

$A={\frac {65537}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}$

kur t – kraštinės ilgis.

Vidinis kampas ${\tfrac {360^{\circ }}{65{.}537}}\approx 0^{\circ }0'19{,}8''=0{,}0055^{\circ }$.

Centrinis kampas ${\tfrac {65{.}537-2}{65{.}537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179^{\circ }59'40{,}2''=179{,}9945^{\circ }=180^{\circ }-0{,}0055^{\circ }$.

Jei toks daugiakampis būtų nubraižytas aplink bokšto laikrodžio ciferblatą, tokio laikrodžio valandinė rodyklė pasiektų vis naują briauną greičiau nei kas sekundę.