Kvaternionas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Kvaternionas (lot. quattor – keturi) – skaičių aibė, nekomutatyvus kompleksinių skaičių aibės praplėtimas. Kvaterniono koncepciją sumanė airis Viljamas Rovanas Hamiltonas 1843 m.

Apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

Jei kompleksiniai skaičiai gaunami prie realiųjų skaičių pridedant įsivaizduojamą elementą i (=-1), kvaternionų aibė gaunama pridedant tris elementus i, j ir k, tenkinančius tokias sąlygas:

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

Kiekvienas kvaternionas užrašomas formule:

a + bi + cj + dk

Savybės[taisyti | redaguoti kodą]

Skirtingai, nei realių ar kompleksinių skaičių, kvaternionų daugyba yra nekomutatyvi, t. y. ij = k, bet ji = −k.

Vaizdavimas matricomis[taisyti | redaguoti kodą]

Kvaternionus galima vaizduoti 2×2 dydžio kompleksinių skaičių matrica arba 4×4 dydžio realiųjų skaičių matrica. Taigi, kvaternioną a + bi + cj + dk galima užrašyti:

\begin{pmatrix} a-di & -b+ci \\ b+ci & \;\; a+di \end{pmatrix}

Arba:

\begin{pmatrix}
 \;\; a & -b & \;\; d & -c \\ 
 \;\; b & \;\; a & -c & -d \\
 -d & \;\; c & \;\; a & -b \\
 \;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a 
\end{pmatrix}

Panaudojimas[taisyti | redaguoti kodą]

Kvaternionai naudojami kompiuterinėje grafikoje objektų transformavimui trimatėje erdvėje. Kvaternionai taip pat naudojami signalų apdorojime, fizikoje.