Matrica (matematika)

Matrica – stačiakampė elementų (dažniausiai skaičių) lentelė. Matricas tiria matricų teorija. Matricos naudojamos tiesinių lygčių sistemoms spręsti, taip pat atliekant tiesines transformacijas (pavyzdžiui, kompiuterinėje geometrijoje sukant objektus ar keičiant jų dydį).

Apibrėžimai ir žymėjimas

Matricą sudaro eilutės ir stulpeliai. Jeigu matricą sudaro m eilučių ir n stulpelių, ji vadinama [m × n] dydžio (arba [m × n] formato) matrica. i - osios eilutės ir j - otojo stulpelio sankirtoje esantis elementas paprastai žymimas a_ij. Pavyzdžiui, pirmosios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje esantis elementas žymimas a₁₂ (skaitoma "a vienas du", o ne "a dvylika"). Jeigu vienas iš matricos matmenų lygus vienetui, ji vadinama vektoriumi.

Dvi to paties dydžio matricos vadinamos lygiomis, jei jų atitinkami elementai yra lygūs: A = B, jei a_ij = b_ij visiems i ir j.

Pavyzdys:

$A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 & 4 \\ 4 & 10 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Matrica A yra 2×4 dydžio; ją sudaro dvi eilutės (m = 2) ir keturi stulpeliai (n = 4).

Operacijos su matricomis

Matricų sudėtis ir atimtis

Matricas galima tarpusavyje atimti ar sudėti, jeigu jų dydžiai sutampa, t.y jas sudaro vienodas eilučių ir stulpelių skaičius. Rezultate gaunasi tokio pat dydžio matrica, kurios kiekvienas elementas gaunamas atliekant operaciją su atitinkamais sudedamų (atimamų) matricų elementais. Pavyzdžiui, jeigu turime dvi matricas A ir B, kurių dydis [m × n], tuomet jų suma apskaičiuojama sudedant atitinkamus kiekvienos matricos elementus (su sutampančiais indeksais), t.y jei C = A + B, tai c_ij = a_ij + b_ij.

Atimties pavyzdys:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 4\\ 1 & 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 10\\ 8 & 2 & 3 & -5 \end{bmatrix}$

$A - B= \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 4\\ 1 & 3 & 0 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 10\\ 8 & 2 & 3 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-3 & 0-1 & -1-0 & 4-10\\ 1-8 & 3-2 & 0-3 & 5-(-5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & -6\\ -7 & 1 & -3 & 10 \end{bmatrix}$

Matricų daugyba

Matricas galima dauginti tarpusavyje, jeigu matricos yra suderintos. Tai reiškia, kad matricą A = (a_ik), kurios dydis – [m × s], galima dauginti iš tokios matricos B=(b_kj), kurios eilučių skaičius sutampa su matricos A stulpelių skaičiumi, t.y matricos B dydis turi būti [s × n]. Sudauginus A ir B matricas, gaunama [m × n] formato matrica C = (c_ij), t.y

$A_{[m \times s]} \times B_{[s \times n]} = C_{[m \times n]}$.

Kiekvienas matricos C elementas c_ij yra apskaičiuojamas pagal formulę:

$c_{ij} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{is}b_{sj}$,

čia 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n.

Pavyzdys: Apskaičiuokime matricą C = AB, kai

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$

Pirmiausia turime įsitikinti, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atveju matricos A dydis yra [2 × 3], o matricos B - [3 × 2], taigi matricos yra suderintos, nes 3 = 3. Gausime matricą C, kurios dydis yra [2 × 2]. Turime

$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & ( 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Labai svarbi matricų daugybos savybė yra ta, kad bendruoju atveju AB ≠ BA, t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi. Tai reiškia, kad dauginant matricas būtina atsižvelgti į jų tvarką.

Pavyzdys: Apskaičiuokime matricą D = BA, kai

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$

Įsitikiname, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atveju matricos B dydis yra [3 × 2], o matricos A - [2 × 3], taigi matricos yra suderintos, nes 2 = 2. Gausime matricą D, kurios dydis yra [3 × 3]. Turime

$D = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 3 \times 1 + 1 \times (-1)) & ( 3 \times 0 + 1 \times 3) & ( 3 \times 2 + 1 \times 1)\\ ( 2 \times 1 + 1 \times (-1)) & ( 2 \times 0 + 1 \times 3) & ( 2 \times 2 + 1 \times 1)\\ ( 1 \times 1 + 0 \times (-1)) & ( 1 \times 0 + 0 \times 3) & ( 1 \times 2 + 0 \times 1)\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Kaip matome C ≠ D.

Matricos, kurioms galioja lygybė AB = BA vadinamos komutuojančiomis. Pavyzdžiui

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & 5\\ 5 & 2\\ \end{bmatrix}$

Matricos daugyba iš skaičiaus

Matricą A galima padauginti iš skaičiaus α. Atliekant šį veiksmą kiekvienas matricos elementas yra dauginamas iš α.

Pavyzdys.

$5\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 5 & 1 \times 5 \\ 1 \times 5 & 0 \times 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 5 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Operacijų su matricomis savybės

Matricų sudėčiai bei matricų daugybai galioja šios savybės:

$A + B = B + A$, t.y matricų sudėtis yra komutatyvi;

$AB \neq BA$, t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi;

$A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C$, t.y matricų sudėtis yra asociatyvi.

Kadangi matricų daugyba yra nekomutatyvi, šiam veiksmui galioja šie asociatyvumo dėsniai:

$A(BC) = (AB)C = ABC$

$(BC)A = B(CA) = BCA$

Taigi dauginant daugiau negu dvi matricas daugybų tvarka yra nesvarbi. Svarbi yra tik matricų tvarka.

Dėl matricų daugybos nekomutatyvumo galioja šie distributyvumo dėsniai:

$A(B + C) = AB + AC$

$(B + C)A = BA + CA$

Jei turime skaičius α ir β, tai galioja šios savybės:

$\alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B$

$(\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A$

$\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$

$(\alpha \beta) A = \alpha(\beta A) = \beta(\alpha A)$

Matricų tipai

• Nulinė matrica – matrica, kurios visi elementai nuliai.
• Vienetinė matrica – matrica, kurios visi elementai pagrindinėje įstrižainėje lygūs 1, o likusieji elementai lygūs 0. Vienetinė matrica žymima E (kartais žymima I).
• Išsigimusi matrica – matrica, kurios determinantas lygus nuliui. Be to, ji neturi sau atvirkštinės.
• Kvadratinė matrica – matrica su vienodu eilučių ir stulpelių skaičiumi. Kvadratinės matricos turi įstrižaines. Įstrižainė, kertanti kvadratinės matricos elementus nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinio dešiniojo, vadinama pagrindine, o nuo viršutinio dešiniojo kampo iki apatinio kairiojo – šalutine.
• Transponuota matrica – matrica, kurios eilutės ir stulpeliai sukeisti vietomis. Žymima A^T
• Kvadratinės matricos A atvirkštinė matrica – matrica A^-1 , tenkinanti lygybes AA^-1 = A^-1A = E
• Simetrinė matrica – matrica, sutampanti su savo pačios transponuota matrica.
• Trikampė matrica – matrica, kurios visi elementai virš (žemiau) pagrindinės įstrižainės lygūs 0.
• Ermitinė matrica – matrica, kurios eilutes ir stulpelius sukeitus vietomis, bet atlikus kompleksinį sujungimą visiems elementams gauname tą pačią matricą. Tokios matricos pagrindinės įstrižainės elementai visada yra realūs skaičiai.
• Unitarinė matrica – kvadratinė kompleksinė matrica, kurios atvirkštinė matrica gaunama atlikus kompleksinį sujungimą visiems jos elementams.