Hadamardo vartai

Hadmardo vartai (angl. Hadamard gate) – tai kvantiniai vartai naudojami kvantiniame kompiuteryje, kilę iš Hadamardo transformacijos, skirti, kubitą pervesti į superpozicijos būseną. Hadamardo kvantiniai vartai neturių klasikinių vartų analogų. Hadamardo vartai gali operuoti tik ant vieno kubito, be to kiekvienam kubitui reikia savo atskirų Hadamardo vartų. Kubitas, kurio būsena yra |1>, pereidamas per Hadamardo vartus persikelia į būseną:

$H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle=|-\rangle$.

O |0> pereidamas per Hadamardo vartus pereina į superpozicijos būseną, kuri užrašoma šitaip:

$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle=|+\rangle$.

Šiose būsenose kubitai pereidami dar kartą per Hadamardo vartus grįžta į pradinę būseną:

$H( \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle )= \frac{1}{2}( |0\rangle+|1\rangle) - \frac{1}{2}( |0\rangle - |1\rangle) = |1\rangle$;

$H( \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle )= \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) + \frac{1}{\sqrt{2}}( \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)= |0\rangle$.

Skaičiavimai su Hadamardo vartais

Rezultatas po 2 kubitų perėjimo per Hadamardo vartus

Kartais vietoje 0 rašomas 1, o vietoje 1 rašomas -1:

$|0\rangle =|1\rangle$;

$|1\rangle =|-1\rangle$.

Mes taip ir žymėsime. Pirmas (pvz.: 1) nuo viršaus kubitas rašomas pirmu, o antras (pvz:. -1) nuo viršaus antru:

$|1\rangle |-1\rangle = |1,-1\rangle$.

Kai 2 kubitai yra perėję Hadamardo vartus, tai jie turės 4 reikšmes:

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |-1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |-1\rangle)=\frac{1}{2}(|1,1\rangle+|-1,1\rangle-|1,-1\rangle-|-1,-1\rangle)$.

Jei iš paskos šiuos 2 kubitus seka dar vienas kubitas H|-1>, tai bendras kubitų užrašymas atrodys taip:

$\frac{1}{2}(|1,-1\rangle+|-1,1\rangle-|1,-1\rangle-|-1,-1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |-1\rangle)=$

$= \frac{1}{\sqrt{2^3}}(|1,-1,1\rangle+|-1,1,1\rangle-|1,-1,1\rangle-|-1,-1,1\rangle -|1,-1,-1\rangle-|-1,1,-1\rangle+|1,-1,-1\rangle+$

$+|-1,-1,-1\rangle)$.

Reikšmės

$\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle.$

$(|\psi\rangle \langle\phi|) |v\rangle = |\psi\rangle \langle\phi|v\rangle.$

$H|\psi\rang=\frac{1}{\sqrt{2}}(X|\psi\rang + Z|\psi\rang)$.

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$.

$H|\psi\rangle = H\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)=|0\rang$.

$H|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)+Z\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle))=$

$= \frac{1}{\sqrt{2}}((\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)+\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle))=|0\rang$.

Kur X yra kvantiniai NOT vartai, o Z yra fazės vartai.

Jei

$|\psi\rangle = a|00\rangle+b|10\rangle+c|01\rangle+d|11\rangle$,

tai

$\langle\psi|\psi\rangle= a^2+b^2+c^2+d^2 =1$,

Pavyzdžiui,

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)=\frac{1}{2}(|00\rangle+|10\rangle-|01\rangle-|11\rangle)$.

Tada,

$\langle\psi|\psi\rangle=4\cdot (\frac{1}{2})^2= 1.$

$\langle\psi|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2^n}},$

kur n, kubitų skaičius. Pavyzdžiui, jei n=4, tai:

$\langle\psi|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2^4}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$.

O jei n=2, tai:

$\langle\psi|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2^2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$.

$\langle x|x\rangle=1$.

$\langle x|y\rangle=\langle y|x\rangle=0$.

Kur naudojami Hadamardo vartai?

Hadamardo vartai naudojami:

• Doičo-Džozo algoritme,
• Groverio algoritme.

Kiti kvantiniai vartai

• Hadamardo vartai
• CNOT vartai
• Kvantiniai NOT vartai
• Fazės vartai
• Tofolio vartai

Nuorodos

• Paaiškinimas kodėl 1 (arba 0) praėjęs du kartus per Hadamardo vartus vėl tampa 1 (arba 0). Video.