Ermito polinomas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Ermito polinomas matematikoje yra polinomas, priklausantis ortogonalių polinomų sekai, kurį atsiranda tikimybių teorijos problemose, kombinatorikoje bei fizikoje.

Apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

Ermito polinomai yra apibrėžiami arba sąryšiu

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!

("tikimybiniai Ermito polinomai"), arba kartais kitu sąryšiu

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!

("fizikiniai Ermito polinomai"). Šie du apibrėžimai nėra tiksliai vienodi, vienas yra kito mastelio keitimas

H_n^\mathrm{fiz}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{tik}(\sqrt{2}\,x).\,\!

Tradiciškai matematikoje naudojamas pirmas apibrėžimas, kadangi

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

yra tikimybės tankio funkcija normaliam skirstiniui su tikėtina vertė 0 ir standartiniu nuokrypiu 1.

Pirmi penki Ermito polinomai.

Pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal tikimybių teorijoje naudojamą apibrėžimą:

H_0(x)=1\,
H_1(x)=x\,
H_2(x)=x^2-1\,
H_3(x)=x^3-3x\,
H_4(x)=x^4-6x^2+3\,
H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,
H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,
H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,
H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,
H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,
H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,

ir pirmi vienuolika Ermito polinomu, apibrėžtų pagal fizikoje (kvantinėje mechanikoje) naudojamą apibrėžimą:

H_0(x)=1\,
H_1(x)=2x\,
H_2(x)=4x^2-2\,
H_3(x)=8x^3-12x\,
H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,
H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\,
H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\,
H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\,
H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240\,

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]