Lotkos–Volteros lygtys

Šį straipsnį ar jo skyrių reikėtų peržiūrėti. Būtina ištaisyti gramatines klaidas, patikrinti rašybą, skyrybą, stilių ir pan. Ištaisę pastebėtas klaidas, ištrinkite šį pranešimą ir apie tai, jei norite, praneškite Tvarkos projekte.

Lotkos–Volteros lygtys, dar žinomos kaip plėšrūno– aukos lygtys, yra pora pirmos eilės, netiesinių, diferencialinių lygčių sistema, kuri vaizduoja biologines sistemas, kai sąveikauja dvi rūšys: plėšrūnas ir auka. Lygtys įtraukia ir laiką:

$\frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y)$

$\frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta x)$

kur,

• x yra aukos skaičius (pvz., kiškiai);
• y yra plėšrūno skaičius (pvz., lapės);
• $\frac{dy}{dt}$ ir $\frac{dx}{dt}$ reiškia dviejų populiacijų augimą laikui bėgant;
• t – laikas;
• α, β, γ ir δ yra parametrai, atspindintys sąveiką tarp dviejų rūšių.

Prielaidos

Lotkos-Voltera modelis padaro keletą prielaidų apie plėšrūno ir aukos aplinką ir evoliuciją.

1. Auka randa aplinkoje gausiai maisto.
2. Plėšrūno maisto kiekis priklauso tik nuo aukos populiacijos.
3. Populiacijos kitimo greitis yra proporcingas jos dydžiui.
4. Per sąveiką aplinka nesikeičia ir genetinė rūšių adaptacija yra lėta.

Auka

Aukos lygtis:

$\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y.$

Auka turi neribotus maisto išteklius ir dauginasi eksponentiškai, nebent yra plėšrūnas; šis eksponentinis augimas yra lygtyje aprašomas α x. Plėšrūnavimo greitis yra laikomas proporcingu greičiui, kai plėšrūnas ir auka susitinka; tai aprašo β xy. Jeigu abu x arba y yra nulis, tada negali būti plėšrūnavimo.

Su šiais teiginiais viršuje galima interpretuoti, kad aukos kitimas priklauso nuo savo dauginimosi minus nužudytų aukų skaičius.

Plėšrūnas

Plėšrūno lygtis:

$\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y.$

Šioje lygtyje δ xy vaizduoja plėšrūno populiacijos augimą. (Panašu į plėšrūnavimo greitį; tačiau kita konstanta yra naudojama kai greitis, kuriuo plėšrūno populiacija auga, yra nebūtina lygus greičiu kai žudoma auka). γ y reiškia plėšrūno mažėjimą dėl natūralios mirties arba emigracijos; tai veda iki eksponentinio sunykimo nesant aukai.

Taigi lygtis vaizduoja plėšrūno populiacijos kitimą, kai yra maisto ir minus natūrali mirtis.

Lygties sprendiniai

Lygtys turi periodinius sprendinius ir neturi paprasto išreiškimo naudojant įprastas trigonometrines funkcijas.

Sistemos dinamika

Populiacijos pusiausvyra

Populiacija yra pusiausvyroje, kai nei viena iš populiacijų nesikeičia, t. y. abi išvestinė yra lygios nuliui.

$x(\alpha - \beta y) = 0\,$

$-y(\gamma - \delta x) = 0\,$

Išsprendus x ir y viršutinei sistemai, gauname

$\left\{ y = 0 , x = 0 \right\}\,$

ir

$\left\{ y = \frac{\alpha}{\beta}, x = \frac{\gamma}{\delta} \right\},\,$

Vadinasi yra pusiausvyra.

Pirmas sprendinys vaizduoja abiejų rūšių išnykimą. Antras sprendinys vaizduoja stacionarų tašką, kur abi populiacijos palaiko savo dabartinę būseną. Kada bus pasiekta pusiausvyra priklauso nuo parametrų α, β, γ ir δ.

Stabilumas ir stacionarūs taškai

The Jacobiano matrica plėšrūno-aukos modeliui yra:

$J(x,y) = \begin{bmatrix} \alpha - \beta y & -\beta x \\ \delta y & \delta x - \gamma \\ \end{bmatrix}.$