Matematika Babilone

Babilonietiška molinė lentelė YBC 7289. Diagonalėje užrašyta kvadratinės šaknies iš dviejų apytikslė vertė keturiais skaitmenimis šešiasdešimtainėje sistemoje (kas atitinka šešis dešimtainius skaičius).
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296...

Matematika Babilone (taip pat Asirijos-Babilono matematika^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]) sąvoka nusako Mesopotamijos žmonių pasiekimus matematikos srityje nuo Šumero laikų iki Babilono žlugimo 539 m. pr. m. e. Babilonietiški matematiniai tekstai yra suprantamai parašyti ir neblogai išsilaikę.^[7] Jie dalinami į du laikotarpius: Senosios Babilono karalystės periodo (1830-1531 m. pr. m. e.) ankstyvieji tekstai ir Seleukidų imperijos laikų tekstai (Beje, jų yra daugiausia, paskutinieji keturi amžiai iki Kristaus gimimo). Matematinių problemų turinio atžvilgiu beveik jokių sirtumų nėra, taigi, Babiloniečiai nagrinėjo tas pačias problemas beveik visus savo senovės kultūros egzistavimo du tūkstantmečius.^[7] Skirtingai nuo negausių Senovės Egipto matematikos šaltinių, apie Babilono matematiką mes žinome iš beveik 400 išlikusių molinių lentelių, atkastų nuo 1850 m. iki šių dienų. Jos buvo rašomos dantiraščiu drėgno molio lentelėse, po to išdegamos ugnyje arba kaitrioje Saulės šviesoje. Dauguma atrastų molinių lentelių datuojamos nuo 1800 iki 1600 m. pr. m. e. Jose nagrinėjamos trupmenų, algebros, Pitagoro teoremos, kvadratinių ir kubinių lygčių problemos. Babilono lentelė, pavadinta YBC 7289 pateikia ${\sqrt {2}}$ aproksimaciją šešių dešimtainių skaitmenų tikslumu.

Babilonietiškieji skaičiai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Babilono matematika rėmėsi šešiasdešimtaine skaičiavimo sistema. Iš čia yra kilęs 60 sekundžių minutėje, 60 minučių valandoje, ir 360 laipsnių kampas pilnam apsisukimui naudojimas. Babiloničiai sugebėjo tiek daug pasiekti dėl dviejų priežasčių. Pirmoji yra ta, kad skaičius 60 yra sudėtinis, besidalinantis iš 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ir 60, kas labai palengvina trupmeninį skaičiavimą. Taip pat, skirtingai nuo egiptiečių ir romėnų, babiloniečiai ir indai turėjo pozicines skaičiavimo sistemas (skaitmens prasmė priklauso nuo vietos skaičiuje), kuomet skaičiai parašyti kairėje pusėje turi didesnes vertes (kaip ir dešimtainėje sistemoje: 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

Skaičiai nuo 1 iki 59:

Šumerų matematika (3000 — 2300 m. pr. m. e.)[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Jau nuo 3000 m. pr. m. e. šumerai turėjo išvystytą matavimo teoriją. Nuo 2600 m. pr. m. e., šumerai turėjo susirašę daugybos lenteles, mokėjo spręsti geometrinius ir dalybos uždavinius. Jau tuo metu buvo naudojama šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema.^[8]

Matematika Senojoje Babilono karalystėje (2000–1600 m. pr. m. e.)[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Dauguma rastų molinių lentelių yra datuojamos senosios Babilono karalystės laikotarpiu, todėl Mesopotamijos matematiniai pasiekimai dažniausiai vadinami Babilono matematiniais pasiekimais. Jose yra surašytos daugybos lentelės, matematiniai uždaviniai ir jų sprendimai.

Aritmetika[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Babiloniečiai plačiai naudojo iš anksto sudarytas lenteles aritmetinių skaičiavimų palengvinimui. Pavyzdžiui, dviejose lentelėse, rastose Senkerah prie Eufrato 1854 m., (datuojamose apie 2000 m. pr. m. e.), surašyti skaičių nuo vieno iki 59 kvadratai ir nuo vieno iki 32 kubai. Babiloniečiai juos naudojo daugybos skaičiavimų palengvinimui kartu su formulėmis:

ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}

,

ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}

.

Babilone nebuvo žinomi šiuolaikiniai dalybos algoritmai, tačiau jie naudojo sąryšį

{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}

kartu su atvirkštinių dydžių lentelėmis. Ypač daug atvirkštinių skaičių lentelių buvo rasta tokiems šešiasdešimtainės sistemos skaičiams, kurie be liekanos dalijasi iš kitų skaičių.

1/7, 1/11, 1/13 ir kiti panašūs skaičiai neturi baigtinio atvaizdavimo šešiasdešimtainėje sistemoje. Jų skaičiavimui babiloniečiai naudojo aproksimacijas. Tarkim 1/13 arba skaičiaus dalybai iš 13 buvo naudojamas sąryšis:

{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}.

Algebra[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Elementariosios algebros uždaviniams spręsti vėlgi plačiai naudotos panašios lentelės.

Babiloniečiai jau žinojo kvadratinės lygties šaknų radimo formulę. Jie nagrinėjo tokią kvadratinės lygties formą:

\ x^{2}+bx=c

,

kur b ir c nebūtinai sveikieji skaičiai, bet c būtinai turi būti teigiamas. Jie žinojo, kad sprendinys turi tokį pavidalą:

x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}

.

Iš lentelių jie visada naudodavo tik teigiamą šaknies vertę, kuri dažniausiai reikalinga „realioms“ problemoms spręsti (pvz., surasti stačiakampio kraštines esant duotam stačiakampio plotui).

n³ + n² lentelės buvo naudojamos tam tikros rūšies kubinėms lygtims spręsti. Tarkim turime lygtį:

\ ax^{3}+bx^{2}=c.

.

Padauginę lygtį iš a² ir padalinę iš b³ gausime

\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.

Įstačius y = ax/b gauname lygtį

y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}

,

kurios sprendimui galima naudoti n³ + n² lenteles geriausiam artiniui dešinėje pusėje esančiam skaičiui rasti. Tačiau jie nežinojo algooritmo bet kokiai kubinei lygčiai spręsti.

Palūkanų skaičiavimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Babiloniečiai mokėjo paskaičiuoti pinigų sumos padvigubėjimo laiką, esant žinomai palūkanų normai.

Tarkim lentelėse galima rasti uždavinį „Esant palūkanų normai 1/60 per mėnesį (nepridedant palūkanų), paskaičiuoti pinigų padvigubėjimo laiką“. Tai duos metinę palūkanų normą 12/60 = 20%, o padvigubėjimo laikas bus 100%/20% = 5 metai.^[9]^[10]

Plimpton 322[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Plimpton 322 lentelėje surašyti „Pitagoro trejetai“, t. y., sveikųjų skaičių trejetai $\scriptstyle (a,b,c)$ kurie tenkina lygtį $\scriptstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Nors ir daug tyrinėta, iki šiol nežinoma, kokiais būdais jie gauti, kadangi jų yra gana daug ir skaičiai gana dideli, kad juos būtų lengva gauti paprastais visų galimų variantų peržiūrėjimo metodais.

Geometrija[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Babilone buvo žinomi bendrieji plotų ir tūrių matavimo principai. Jie naudojo įvertį, kad apskritimo perimetro ilgis yra tris kartus didesnis už jo skersmenį, o skritulio plotas yra viena dvyliktoji perimetro kvadrato. Šie įverčiai teisingi, tarus kad pi yra apytiksliai lygus 3. Cilindro tūris buvo skaičiuojamas kaip jo pagrindo ploto ir aukščio sandauga, Tačiau nupjauto kūgio arba nupjautos piramidės tūris buvo klaidingai skaičiuojamas sudauginant aukštį iš pusės pagrindų sumos. Pitagoro teorema babiloniečiams taip pat buvo žinoma. Neseniai buvo atrasta molinė lentelė, kurioje pi buvo įvertintas lygiu 3 ir 1/8.

Senovės Babilone buvo žinomos panašiųjų trikampių kraštinių santykių teoremos, nors, atrodo, jie neturėjo kampo ir jo matavimo sąvokos.^[11]

Babilono astronomai turėjo žvaigždžių tekėjimo ir laidos, planetų judėjimo, Saulės ir Mėnulio užtemimų lenteles, kurių sudarymui reikia mokėti matuoti kampinius nuotolius dangaus sferoje.^[12]

Jie taip pat naudojo tam tikrą skaičiavimo būdą, panašų į Furje analizę efemeridžių apskaičiavimui (dangaus šviesulių padėčių lentelė), koks buvo atrastas tik 1950 metais (Otto Neugebauer).^[13]^[14]^[15]

Įtaka kitoms civilizacijoms[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Taip pat skaitykite[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Citavimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

↑ Lewy, H. (1949). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 18, 40–67; 137–170.
↑ Lewy, H. (1951). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 20, 1–12.
↑ Bruins, E.M. (1953). 'La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes. Revue d'Assyriologie 47, 185–188.
↑ Cazalas, (1932). 'Le calcul de la table mathématique AO 6456'. Revue d'Assyriologie 29, 183–188.
↑ Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.
↑ Robson, E. (2002). 'Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology'. In Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, 245–292.
↑ ^7,0 ^7,1 Aaboe, Asger. "The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy." The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Eds. John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger and C. B. F. Walker. Cambridge University Press, (1991)
↑ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology Archyvuota kopija 2018-07-07 iš Wayback Machine projekto., Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
↑ Why the „Miracle of Compound Interest“ leads to Financial Crises Archyvuota kopija 2012-05-10 iš Wayback Machine projekto., by Michael Hudson
↑ Have we caught your interest? by John H. Webb
↑ Boyer (1991). „Greek Trigonometry and Mensuration“. pp. 158–159. {{cite book}}: Missing or empty |title= (pagalba)
↑ Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0691095418.
↑ Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhäuser. ISBN 978 0 81764125 2., p. 62
↑ Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). Indiscrete thoughts. Birkhäuser. ISBN 978 0 81763866 5., p. 11
↑ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 leid.). Dover Publications. ISBN 978-048622332-2.

Nuorodos[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Berriman, A. E., The Babylonian quadratic equation (1956).
Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, (1989) ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
Joseph, G. G., The Crest of the Peacock, Princeton University Press (October 15, 2000), ISBN 0-691-00659-8.
Joyce, David E. (1995). „Plimpton 322“. {{cite journal}}: Citatai journal privalomas |journal= (pagalba)
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 leid.). Dover Publications. ISBN 978-048622332-2.
O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., "An overview of Babylonian mathematics", MacTutor History of Mathematics, (December 2000).
Robson, Eleanor (2001). „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322“. Historia Math. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797.
Robson, E., Words and pictures: New light on Plimpton 322, The American Mathematical Monthly. Washington: Feb 2002. Vol. 109, Iss. 2; pg. 105
Robson, E. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press (2008)
Toomer, G. J., Hipparchus and Babylonian Astronomy, (1981).

[1] Lewy, H. (1949). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 18, 40–67; 137–170.

[2] Lewy, H. (1951). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 20, 1–12.

[3] Bruins, E.M. (1953). 'La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes. Revue d'Assyriologie 47, 185–188.

[4] Cazalas, (1932). 'Le calcul de la table mathématique AO 6456'. Revue d'Assyriologie 29, 183–188.

[5] Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.

[6] Robson, E. (2002). 'Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology'. In Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, 245–292.

[Aaboe,_Asger-7] 7,0 ^7,1 Aaboe, Asger. "The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy." The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Eds. John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger and C. B. F. Walker. Cambridge University Press, (1991)

[8] Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology Archyvuota kopija 2018-07-07 iš Wayback Machine projekto., Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.

[hudson-9] Why the „Miracle of Compound Interest“ leads to Financial Crises Archyvuota kopija 2012-05-10 iš Wayback Machine projekto., by Michael Hudson

[10] Have we caught your interest? by John H. Webb

[Boyer_Early_Trigonometry-11] Boyer (1991). „Greek Trigonometry and Mensuration“. pp. 158–159. {{cite book}}: Missing or empty |title= (pagalba)

[Maor-20-12] Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0691095418.

[13] Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhäuser. ISBN 978 0 81764125 2., p. 62

[14] Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997). Indiscrete thoughts. Birkhäuser. ISBN 978 0 81763866 5., p. 11

[15] Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 leid.). Dover Publications. ISBN 978-048622332-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]