Vektorinė sandauga

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigacija, paiešką
Dviejų vektorių vektorinė sandauga dešiniosios rankos koordinačių sistemoje

Vektorinė sandauga (angl. cross product) — dvinarė vektorių operacija.

Apibrėžimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Dviejų vektorių a ir b vektorinė sandauga yra vektorius c, tenkinantis sąlygas:

  1. ir , t.y vektorius c yra statmenas vektorių a ir b plokštumai;
  2. Vektoriaus c ilgis yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotui, t.y ;
  3. Vektorius c nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a, pasuktas mažiausiu kampu θ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi.

Vektorinė sandauga yra žymima arba c = [a, b].

Dešiniosis rankos taisyklės taikymas vektoriaus c krypčiai nustatyti

Dažnai sakoma, kad vektoriai a, b ir c, tenkinantys trečiąją sąlygą sudaro dešininį trejetą (sistemą). Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: smilių nukreipus vektoriaus a kryptimi, o didijį pirštą - vektoriaus b kryptimi, nykštys rodys vektoriaus c kryptį (žr. paveiksliuką).

Vektorinės sandaugos apskaičiavimas[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Erdvinėje koordinačių sistemoje abscisių, ordinačių ir aplikačių ašių ortai i, j ir k tenkina šias lygybes:

Naudojant šias lygybes galime apskaičiuoti vektorinę sandaugą, kai yra žinomos tu vektorių koordinates. Jeigu ir , tai vektorinę sandaugą patogu skaičiuoti naudojant trečios eilės determinantą

Savybės[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Bet kurių nenulinių vektorių vektoriniai sandaugai būdingos šios savybės:

  1. Antikomutatyvumas, t.y ;
  2. Asociatyvumas daugybos iš skaliaro atžvilgiu. t.y
  3. Distributivumas vektorių sudėties atžvilgiu, t.y
  4. Vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui tada ir tik tada, kai vektoriai a ir b yra kolinearūs, t.y kai a || b
  5. Tenkina Jacobi tapatybę, t.y

Taikymai[redaguoti | redaguoti vikitekstą]

Vektorinė sandauga yra taikoma norint apskaičiuoti lygiagretainio arba trikampio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b, plotą. Tą galima padaryti naudojant formules:

Taip pat galima apskaičiuoti aukštinės ha, nuleistos į pagrindą a, ilgį. Formulė vienoda ir lygiagretainiui ir trikampiui ir atrodo taip:

Vektorinė sandauga yra taikoma ne tik geometrijoje, tačiau ir algebroje. Tokio taikymo pavyzdys yra kvaternionų daugyba.


Veiksmai su vektoriais

ProdScal1.png

Sudėtis ir atimtis  | Vektorinė sandauga | Skaliarinė sandauga | Mišrioji sandauga |