Tikėtinumo funkcija

Tikėtinumo funkcija statistikoje yra statistinio modelio parametro/parametrų funkcija. Parametro/parametrų θ verčių tikėtinumas L, yra lygus tikimybei stebimo rezultato x esant tam tikrai modelio parametro θ vertei: ${\mathcal {L}}(\theta |x)=P(x|\theta )$.

Tikimybės ir tikėtinumo sąvokos savo prasme labai artimos. Kartais jos netgi vartojamos, kaip sinonimai. Panagrinėkime du teiginius:

• Jei tikra moneta metama 10 kartų, kokia tikimybė, jog iš eilės 10 kartų iškris herbas?
• Kiek tikėtina, kad moneta tikra, jei metant 10 kartų iš eilės iškrenta herbas.

Pirmuoju atveju tikimybė nusako stebimų/išmatuotų verčių funkciją esant fiksuotam parametrui (šiuo atveju parametras – moneta tikra). Antruoju atveju tikėtinumas irgi nusako tikimybę, bet tik tikimybę, kad moneta tikra esant stebėjimo/matavimo rezultatui – 10 kartų iš eilės iškrenta herbas.

Kitais žodžiais, tikimybė leidžia prognozuoti matavimo rezultatus, kai žinomi modelio parametrai, o tikėtinumas leidžia įvertinti modelio (nežinomus) parametrus, esant žinomiems matavimo rezultatams.

Pavyzdys

Tarkime, kad turime n kažkokio dydžio $x_{1},\ldots ,x_{n}$ matavimų, kurie pasiskirstę pagal normalųjį dėsnį su vidurkiu $\mu$ ir dispersija $\sigma ^{2}$:

$f\left(x;\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.$

Tikėtinumo funkcija šiuo atveju bus tokio pavidalo:

${\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2}|{x_{i}})=\prod _{i=1}^{n}f\left(x_{i};\mu ,\sigma ^{2}\right)=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)$

Tai yra neneigiama funkcija. Kadangi visada patogiau skaičiuoti sumas, o ne sandaugas, dažnai naudojama logaritminė tikėtinumo funkcija:

$\log {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2}|{x_{i}})=-{\tfrac {n}{2}}\log(2\pi \sigma ^{2})-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}.$

Logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl ${\mathcal {L}}$ ir $\log {\mathcal {L}}$ maksimumai sutampa. Norėdami įvertinti modelio parametrus $\mu$ ir $\sigma ^{2}$ toliau galime naudoti didžiausio tikėtinumo metodą. Šis metodas taip pat yra mažiausių kvadratų metodo pagrindas.