Chaoso teorija

Chaoso teorija – matematikos sritis, tirianti labai jautrių pradinėms sąlygoms dinaminių sistemų elgseną. Šioms chaotinėms sistemoms maži pradinių sąlygų skirtumai duoda plačiai nukrypstančius rezultatus (vadinamasis „drugelio efektas“), kas daro ilgalaikes prognozes neįmanomomis, nors sistemos yra deterministinės (kurių ateities elgsena pilnai nusakoma pradinėmis sąlygomis, be jokių atsitiktinių elementų). Kitais žodžiais tariant, deterministinė šių sistemų kilmė nepadaro jų nuspėjamomis. Tokia elgsena vadinama chaosu ir ji stebima daugelyje natūralių sistemų.

Chaoso teorija taikoma įvairiose srityse: fizikoje, biologijoje, ekonomikoje, filosofijoje ir kt.

Chaoso teorijos pradininku laikomas Edvardas Nortonas Lorenzas, kuris 1972 m. aprašė drugelio efektą, kai net maži dinaminės sistemos pradinių sąlygų pakeitimai radikaliai keičia sistemos elgesį.

Chaosas dinamikoje

Žemėlapis apibrėžtas x → 4 x (1 – x) ir y → x + y jeigu x + y < 1 (x + y – 1 kitu atveju) rodo jautrumą pradinėms sąlygoms.

Bendrai, „chaosas“ reiškia „tvarkos nebuvimą“. Tačiau iš tiesų, chaoso teorijoje, terminas yra apibrėžtas žymiai tiksliau. Nors ir nėra universalaus ir priimto apibrėžimo, bet laikoma, kad dinaminė sistema elgiasi chaotiškai, jeigu:

1. ji jautri pradinėms sąlygoms;
2. ji turi topologiškai maišytis
3. ir jos periodinė orbita turi būti tanki.

Jautrumas pradinėms sąlygoms

Jautrumas pradinėms sąlygoms reiškia, kad kiekvienas taškas tokioje sistemoje yra arti kitų taškų, nors tų gretimų taškų trajektorijos smarkiai išsiskiria.

Šis efektas dar yra žinomas kaip „drugelio efektas“, nes taip Edwardas Lorencas 1972 m. savo leidinyje American Association for the Advancement of Science pavadino Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas? (liet. Ar gali drugelio sparnų suplazdėjimas Brazilijoje sukelti Teksase tornadą?). Suplazdėjimas reiškia mažus pokyčius pradinėse sąlygose, kurie sukelia grandininius įvykius, o jie pasireiškia dideliu mastu.

Topologinis maišymasis

Šiuo atveju reiškia tokį dinaminės sistemos plėtimąsi arba judėjimą, kurio metu viena dalis atsiduria bet kurioje kitoje tos sistemos vietoje. Realiame gyvenime ši sąvoka gali būti suprasta stebint įvairių spalvų dažų maišymąsi.

Pastabos dėl apibrėžimo

Dažnai chaosas suvedamas tik į jautrumą pradinėms sąlygoms. Tačiau taip nėra. Kaip pavyzdį galima panagrinėti matematinę progresiją, gaunamą dvigubinant pradinę vertę - bet kuri pora artimų taškų galų gale taps be labai nutolusi. Sistema tikrai jautri pradinėms sąlygoms, tačiau čia nepasireiškia topologinis maišymasis, taigi nėra ir chaoso.