Grupė (algebra): Skirtumas tarp puslapio versijų

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Thijs!bot (aptarimas | indėlis)
S robotas Keičiama: es:Grupo (matemática)
Orionus (aptarimas | indėlis)
→‎Savybės: papildyta, Abelio grupė
Eilutė 9: Eilutė 9:
*''Uždarumas'': Bet kokiems ''a'', ''b'' <math>G</math> grupės elementams, kompozicijos <math>*</math> rezultatas ''a'' * ''b'' irgi priklauso tai grupei <math>G</math>.
*''Uždarumas'': Bet kokiems ''a'', ''b'' <math>G</math> grupės elementams, kompozicijos <math>*</math> rezultatas ''a'' * ''b'' irgi priklauso tai grupei <math>G</math>.
*''Asociatyvumas'': Dėsnis <math>*</math> yra [[asociatyvumas|asociatyvus]], t.y. <math>(g_1 * g_2) * g_3 = g_1 * (g_2 * g_3)</math>, bet kokiems grupės <math>G</math> elementams <math>g_1, g_2, g_3</math>
*''Asociatyvumas'': Dėsnis <math>*</math> yra [[asociatyvumas|asociatyvus]], t.y. <math>(g_1 * g_2) * g_3 = g_1 * (g_2 * g_3)</math>, bet kokiems grupės <math>G</math> elementams <math>g_1, g_2, g_3</math>
*''Vienetinis elementas'': Egzistuoja neutralus elementas <math>1</math> (vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė <math>1 * g = g * 1 = g</math>
*''Vienetinis elementas'': Egzistuoja neutralus elementas <math>e</math> (dar vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė <math>e * g = g * e = g</math>
*''Atvirkštinis elementas'': Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu, t.y. <math>g * g^{-1} = g^{-1} * g = 1</math> (''g'' – bet kuris grupės elementas, <math>g^{-1}</math> – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.
*''Atvirkštinis elementas'': Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu (dar vadinamas atvirkštiniu elementu), t.y. <math>g * g^{-1} = g^{-1} * g = e</math> (''g'' – bet kuris grupės elementas, <math>g^{-1}</math> – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.
===Abelio grupė===
Jeigu kompozicijos dėsnis <math>*</math> yra [[komutatyvumas|komutatyvus]], t.y. bet kokiems dviems grupės elementams <math>a,b</math> galioja sąryšis <math>a*b=b*a</math>, tokia algebrinė struktūra vadinama '''Abelio grupe'''.


==Pogrupiai==
==Pogrupiai==

19:14, 12 rugpjūčio 2007 versija

Grupės – paprasčiausia algebrinė struktūra, aibė apibrėžiama vienintele binarine operacija (vidinės kompozicijos dėsniu), tenkinančia tam tikras aksiomas. Grupes ir jų savybes nagrinėja algebros mokslo šaka grupių teorija.

Grupės apibrėžimą tenkina dauguma nagrinėtų matematinių struktūrų. Pavyzdžiui, grupės sudėties atžvilgiu yra sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų ir kompleksinių skaičių aibės, grupės daugybos atžvilgiu yra racionalieji skaičiai (be 0), ralieji ir kompleksiniai skaičiai.

Grupės plačiai naudojamos matematikoje, kituose tiksliuosiuose moksluose, inžinerijoje. Pavyzdžiui, grupės naudojamos tiriant reliatyvumą, kvantinę mechaniką, dalelių fiziką, taip pat grupėmis išreikštos geometrinės transformacijos naudojamos chemijoje, kompiuterinėje grafikoje.

Savybės

Elementų aibė vadinama grupe jai apibrėžto aibės elementų kompozicijos dėsnio atžvilgiu, jei tenkina šias savybes:

  • Uždarumas: Bet kokiems a, b grupės elementams, kompozicijos rezultatas a * b irgi priklauso tai grupei .
  • Asociatyvumas: Dėsnis yra asociatyvus, t.y. , bet kokiems grupės elementams
  • Vienetinis elementas: Egzistuoja neutralus elementas (dar vadinamas grupės vienetu), su kuriuo teisinga lygybė
  • Atvirkštinis elementas: Kiekvienam elementui egzistuoja simetrinis elementas kompozicijos dėsnio atžvilgiu (dar vadinamas atvirkštiniu elementu), t.y. (g – bet kuris grupės elementas, – simetrinis elementas iš tos pačios grupės.

Abelio grupė

Jeigu kompozicijos dėsnis yra komutatyvus, t.y. bet kokiems dviems grupės elementams galioja sąryšis , tokia algebrinė struktūra vadinama Abelio grupe.

Pogrupiai

Grupės pogrupiu vadinami tokie grupės G poaibiai H, kurie tenkina savybes:

  • bet kurių dviejų poaibio H elementų sandauga priklauso H
  • kiekvienam poaibio H elementui atvirkštinis elementas priklauso H

Kiekvienas šias savybes tenkinantis pogrupis taip pat yra grupė.

Pavyzdžiui, racionalių skaičių aibė yra grupė sudėties atžvilgiu, o sveikųjų skaičių aibė yra šios grupės pogrupis.