Gama funkcija

Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui z (modulis). R - realioji komponentė, J - menamoji.

Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.

Gama funkcija, žymima $\Gamma (z)$, matematikoje yra faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!$

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

$n!=n(n-1)!\,$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,$

Kartu su $\Gamma (1)=1$:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1$,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

Taip pat

$\left({\frac {1}{2}}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

$\left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0}^{n}{2k+1 \over 2}.$

Pavyzdžiui,

$3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.63.$

Gama funkcijos taikymai

• n - matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:

$V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma ((n/2)+1)}.$