Eksponentinė funkcija

Eksponentinė funkcija didėja lėtai neigiamose x reikšmėse ir greitai teigiamose. Kai x = 0, eksponentinės funkcijos reikšmė yra 1.

Eksponentinė funkcija arba eksponentė yra matematinė funkcija, žymima exp(x), kai funkcijos argumentas yra x. Taip pat funkciją galima žymėti e^x, kur e yra matematinė konstanta, kuri yra natūrinio logaritmo pagrindas (apytiksliai lygus 2.718281828). Funkcijos argumentas gali būti bet koks realusis ar kompleksinis skaičius, ar net visai kitoks matematinis objektas.

Kartais terminas eksponentinė funkcija yra naudojamas bendresne prasme - nusakyti b^x formos funkcijoms, kur b yra vadinamas pagrindu ir yra bet koks teigiamas realusis skaičius, nebūtinai e. Eksponentinės funkcijos nereikia painioti su laipsnine funkcija, kurios forma yra x^a, o a gali būti bet koks skaičius.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Jei funkcijos argumentas yra realusis skaičius, eksponentė visada įgauna teigiamas reikšmes. Tai reiškia, kad visas funkcijos grafikas eina virš x ašies, niekada jos nepaliesdamas, bet be galo arti priartėdamas. Todėl x ašis vadinama horizontaliąja funkcijos asimptote.

Eksponentinės funkcijos apibrėžimai

Dažniausiai naudojami eksponentinės funkcijos e^x apibrėžimai realiems x:

1. e^x gali būti apibrėžiamas riba

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

2. e^x gali būti apibrėžiamas begaline suma

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

(Čia n! yra skaičiaus n faktorialas)

3. e^x gali būti apibrėžiamas unikaliu skaičiumi y > 0, tokiu kad

$\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.$

4. e^x gali būti apibrėžiamas kaip unikalus diferencialinės lygties

$y'=y,\quad y(0)=1.$

sprendinys.