Maksvelo lygtys: Skirtumas tarp puslapio versijų

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
ArthurBot (aptarimas | indėlis)
Mithrandir (aptarimas | indėlis)
Nėra keitimo santraukos
Eilutė 3: Eilutė 3:
== Integralinė Maksvelo lygčių forma ==
== Integralinė Maksvelo lygčių forma ==


<math>\oint_S\vec{D}\mbox{d}\vec{S}=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
<math>\oint_S\mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>


<math>\oint_S\vec{B}\mbox{d}\vec{S}=0</math>
<math>\oint_S\mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}=0</math>


<math>\oint_l\vec{E}\mbox{d}\vec{l}=-\frac{\mbox{d}\Phi_M}{\mbox{d}t}</math>
<math>\oint_l\mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_M}{ dt}</math>


<math>\oint_l\vec{H}\mbox{d}\vec{l}=\mu\mu_0I+\mu\mu_0\vrepsilon\varepsilon_0\frac{\mbox{d}\Phi_E}{\mbox{d}t}</math>
<math>\oint_l\mathbf{H} \cdot d\mathbf{l}=\mu\mu_0I+\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}</math>


== Lokalinė (diferencialinė) Maksvelo lygčių forma ==
== Diferencialinė Maksvelo lygčių forma ==


Ši Maksvelo lygčių forma nusako tuos pačius sąryšius, tačiau pritaikyta erdvės taškams.
Ši Maksvelo lygčių forma nusako tuos pačius sąryšius, tačiau pritaikyta erdvės taškams.


<math>\operatorname{div}\vec{D}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
<math>\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>


<math>\operatorname{div}\vec{B}=0</math>
<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>


<math>\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}}</math>
<math>F\mathbf{E}=-\frac{\partial{\mathbf{B}}}{\partial{t}}</math>


<math>\operatorname{rot}\vec{H}=\mu\mu_0\left(\vec{j}_L+\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial{t}}\right)</math>
<math>\nabla\times\mathbf{H}=\mu\mu_0\left(\mathbf{j}_L+\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial{t}}\right)</math>


Ji gaunama iš integralinių formų.
Ji gaunama iš integralinių formų.
Eilutė 29: Eilutė 29:
Pirmojoje lygtyje krūvį galima pakeisti krūvio tūrinio tankio funkcijos <math>\rho\;</math> integralu
Pirmojoje lygtyje krūvį galima pakeisti krūvio tūrinio tankio funkcijos <math>\rho\;</math> integralu


<math>\oint_S\vec{D}\mbox{d}S=\frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\int_V\rho\,\mbox{d}V</math>
<math>\oint_S\mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\int_V\rho\, dV</math>


Pritaikius [[Gauso teorema|Gauso teoremą]] kairiajai lygties pusei gaunama
Pritaikius [[Gauso teorema|Gauso teoremą]] kairiajai lygties pusei gaunama


<math>\int_V\operatorname{div}\vec{D}\mbox{d}V=\frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\int_V\rho\,\mbox{d}V</math>
<math>\int_V(\nabla\cdot\mathbf{D}) dV=\frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\int_V\rho\, dV</math>


o kadangi abiejų integralų rūšis ir integravimo kintamasis sutampa, be to, tarp jų yra lygybė, tai galima sulyginti ir pointegralines funkcijas.
o kadangi abiejų integralų rūšis ir integravimo kintamasis sutampa, be to, tarp jų yra lygybė, tai galima sulyginti ir pointegralines funkcijas.


<math>\operatorname{div}\vec{D}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
<math>\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>


Atitinkamai iš antrosios Maksvelo lygties integraline forma galima gauti ir
Atitinkamai iš antrosios Maksvelo lygties integraline forma galima gauti ir


<math>\operatorname{div}\vec{B}=0</math>
<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>


=== Trečiosios lygties išvedimas ===
=== Trečiosios lygties išvedimas ===
Eilutė 47: Eilutė 47:
Iš trečiosios lygties dešinės pusės išreiškus magnetinį srautą gaunama
Iš trečiosios lygties dešinės pusės išreiškus magnetinį srautą gaunama


<math>-\frac{\mbox{d}\Phi_M}{\mbox{d}t}=-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\int_S\vec{B}\mbox{d}\vec{S}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial{t}}\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>-\frac{d\Phi_M}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}=-\int_S\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}} \cdot d\mathbf{S}</math>


Pagal [[Stokso teorema|Stokso teoremą]] trečiosios lygties kairiajai pusei
Pagal [[Stokso teorema|Stokso teoremą]] trečiosios lygties kairiajai pusei


<math>\oint_l\vec{E}\mbox{d}l=\int_S\operatorname{rot}\vec{E}\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>\oint_l\mathbf{E}dl=\int_S\nabla\times\mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}</math>


<math>\int_S\operatorname{rot}\vec{E}\mbox{d}\vec{S}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial{t}}\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>\int_S\nabla\times\mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}=-\int_S\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}} \cdot d\mathbf{S}</math>


<math>\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial{t}}</math>
<math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}}</math>


=== Ketvirtosios lygties išvedimas ===
=== Ketvirtosios lygties išvedimas ===
Eilutė 61: Eilutė 61:
Iš ketvirtosios lygties dešinės pusės išreiškus laidumo srovę ir elektrinį srautą gaunama
Iš ketvirtosios lygties dešinės pusės išreiškus laidumo srovę ir elektrinį srautą gaunama


<math>I=\int_S\vec{j}_L\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>I=\int_S\mathbf{j}_L \cdot d\mathbf{S}</math>


<math>\frac{\mbox{d}\Phi_E}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\int_S\vec{D}\mbox{d}\vec{S}=\int_S\frac{\partial\vec{D}}{\partial{t}}\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{d}{dt}\int_S\mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}=\int_S\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial{t}} \cdot d\mathbf{S}</math>


Pagal Stokso teoremą ketvirtosios lygties kairiajai pusei
Pagal Stokso teoremą ketvirtosios lygties kairiajai pusei


<math>\oint_l\vec{H}\mbox{d}l=\int_S\operatorname{rot}\vec{H}\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>\oint_l\mathbf{H} \cdot dl=\int_S\nabla\times\mathbf{H} \cdot d\mathbf{S}</math>


<math>\int_S\operatorname{rot}\vec{H}\mbox{d}\vec{S}=\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\int_S\left(\frac{\vec{j}_L}{\varepsilon\varepsilon_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial{t}}\right)\mbox{d}\vec{S}</math>
<math>\int_S\nabla\times\mathbf{H} \cdot d\mathbf{S}=\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\int_S\left(\frac{\mathbf{j}_L}{\varepsilon\varepsilon_0}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial{t}}\right) \cdot d \mathbf{S}</math>


<math>\operatorname{rot}\vec{H}=\mu\mu_0\vec{j}_L+\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial\vec{D}}{\partial{t}}</math>
<math>\nabla\times\mathbf{H}=\mu\mu_0\mathbf{j}_L+\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial{t}}</math>


== Fizikinė Maksvelo lygčių interpretacija ==
== Fizikinė Maksvelo lygčių interpretacija ==
Eilutė 88: Eilutė 88:
<math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>
<math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}</math>


Gautas elektromagnetinių bangų greitis yra absoliutus ir nepriklauso nuo stebėtojo judėjimo greičio. Tuo metu atrodė, kad tai prieštarauja sveikam protui ir buvo įvesta eterio sąvoka. Vėliau [[Albertas Einšteinas]] sukūrė [[Specialioji reliatyvumo teorija|specialiają reliatyvumo teoriją]] ir eterio sąvokos buvo atsisakyta. ''Maksvelo lygtims'' jau nebereikėjo specialialiosios reliatyvumo teorijos pataisymų (priešingai nei gravitacijai), nes ji iš karto buvo kuriama atsižvelgiant į [[Magnetizmas|magnetizmą]]. Einšteinas parodė, kad magnetizmas atsiranda dėl reliatyvumo teorijos efektų. Judant [[Elektros krūvis|krūviams]] (tekant srovei) judančių [[Elektronas|elektronų]] atžvilgiu kitame laide padidėja ilginis krūvio tankis (kadangi krūvis absoliutus ir nesikeičia, o ilgis reliatyvus ir keičiasi judant stebėtojui), todėl atsiranda sąveika tarp laidų, kurią mes vadiname [[Lorenco jėga]]. Specialiojoje reliatyvumo teorijoje ''Maksvelo lygtys'' užrašomos kita forma:
Gautas elektromagnetinių bangų greitis yra absoliutus ir nepriklauso nuo stebėtojo judėjimo greičio. Tuo metu atrodė, kad tai prieštarauja sveikam protui ir buvo įvesta eterio sąvoka. Vėliau [[Albertas Einšteinas]] sukūrė [[Specialioji reliatyvumo teorija|specialiają reliatyvumo teoriją]] ir eterio sąvokos buvo atsisakyta. ''Maksvelo lygtims'' jau nebereikėjo specialialiosios reliatyvumo teorijos pataisymų (priešingai nei gravitacijai), nes ji iš karto buvo kuriama atsižvelgiant į [[Magnetizmas|magnetizmą]]. Einšteinas parodė, kad magnetizmas atsiranda dėl reliatyvumo teorijos efektų. Judant [[Elektros krūvis|krūviams]] (tekant srovei) judančių [[Elektronas|elektronų]] atžvilgiu kitame laide padidėja ilginis krūvio tankis (kadangi krūvis absoliutus ir nesikeičia, o ilgis reliatyvus ir keičiasi judant stebėtojui), todėl atsiranda sąveika tarp laidų, kurią mes vadiname [[Lorenco jėga]]. Specialiojoje reliatyvumo teorijoje ''Maksvelo lygtys'' užrašomos kovariantinių [[Tenzorius|tenzorių]] forma:
: {|
:
|<math>\partial^\mu F_{\mu \nu} = \mu_0 J_{\nu}</math>|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; (Ampero – Gauso dėsnis)
<math>\partial^\mu F_{\mu \nu} = \mu_0 J_{\nu}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (Ampero – Gauso dėsnis)

|-
|<math>\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu\lambda}+
<math>\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu\lambda}+
\partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0</math>|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; (Faradėjaus – Gauso dėsnis)
\partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (Faradėjaus – Gauso dėsnis)
|}
Čia <math>\partial_\nu = \frac{\partial }{\partial x^\nu}</math>
Čia <math>\partial_\nu = \frac{\partial }{\partial x^\nu}</math>

{{Commons|A Treatise on Electricity and Magnetism Volume I|no=T}}
{{Commons|A Treatise on Electricity and Magnetism Volume I|no=T}}



01:34, 31 gegužės 2010 versija

Maksvelo lygtys yra keturios lygtys, kurios aprašo elektrinį ir magnetinį laukus ir jų sąveiką su materija.

Integralinė Maksvelo lygčių forma

Diferencialinė Maksvelo lygčių forma

Ši Maksvelo lygčių forma nusako tuos pačius sąryšius, tačiau pritaikyta erdvės taškams.

Ji gaunama iš integralinių formų.

Pirmosios ir antrosios lygties išvedimas

Pirmojoje lygtyje krūvį galima pakeisti krūvio tūrinio tankio funkcijos integralu

Pritaikius Gauso teoremą kairiajai lygties pusei gaunama

o kadangi abiejų integralų rūšis ir integravimo kintamasis sutampa, be to, tarp jų yra lygybė, tai galima sulyginti ir pointegralines funkcijas.

Atitinkamai iš antrosios Maksvelo lygties integraline forma galima gauti ir

Trečiosios lygties išvedimas

Iš trečiosios lygties dešinės pusės išreiškus magnetinį srautą gaunama

Pagal Stokso teoremą trečiosios lygties kairiajai pusei

Ketvirtosios lygties išvedimas

Iš ketvirtosios lygties dešinės pusės išreiškus laidumo srovę ir elektrinį srautą gaunama

Pagal Stokso teoremą ketvirtosios lygties kairiajai pusei

Fizikinė Maksvelo lygčių interpretacija

Pirmosios dvi lygtys yra Gauso dėsnis elektriniam ir magnetiniam laukui.

Pirmoji rodo, kad krūvis yra elektrinio lauko šaltinis, o antroji – kad magnetinių „krūvių“ nėra. Tokių magnetinių monopolių kol kas nerasta, taigi magnetinio lauko srautas per uždarą paviršių yra lygus nuliui (tokiu laikomas ir tūrinis magnetinio krūvio tankis).

Trečioji lygtis yra Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos dėsnis.

Ketvirtoji lygtis – Ampero dėsnis, pagal kurį magnetinį lauką kuria laidumo ir slinkties srovės.

Sąsajos su specialiąja reliatyvumo teorija

Buvo iškelta hipotezė apie elektromagnetinių bangų egzistavimą. Jų greitis vakuume yra

Gautas elektromagnetinių bangų greitis yra absoliutus ir nepriklauso nuo stebėtojo judėjimo greičio. Tuo metu atrodė, kad tai prieštarauja sveikam protui ir buvo įvesta eterio sąvoka. Vėliau Albertas Einšteinas sukūrė specialiają reliatyvumo teoriją ir eterio sąvokos buvo atsisakyta. Maksvelo lygtims jau nebereikėjo specialialiosios reliatyvumo teorijos pataisymų (priešingai nei gravitacijai), nes ji iš karto buvo kuriama atsižvelgiant į magnetizmą. Einšteinas parodė, kad magnetizmas atsiranda dėl reliatyvumo teorijos efektų. Judant krūviams (tekant srovei) judančių elektronų atžvilgiu kitame laide padidėja ilginis krūvio tankis (kadangi krūvis absoliutus ir nesikeičia, o ilgis reliatyvus ir keičiasi judant stebėtojui), todėl atsiranda sąveika tarp laidų, kurią mes vadiname Lorenco jėga. Specialiojoje reliatyvumo teorijoje Maksvelo lygtys užrašomos kovariantinių tenzorių forma:

    (Ampero – Gauso dėsnis)

    (Faradėjaus – Gauso dėsnis) Čia