Keliaujančio pirklio uždavinys

Keliaujančio pirklio uždavinio sprendinys, kai reikia apeiti penkiolika didžiausių Vokietijos miestų ir briaunų svoriai lygūs atstumams tarp miestų

Keliaujančio pirklio (komivojažieriaus) uždavinys – grafų teorijoje sprendžiamas uždavinys, formuluojamas taip:

Turint tam tikrą kiekį miestų, taip pat kelionės iš vieno miesto į kitą kainas, reikia rasti pigiausią maršrutą, kad aplankius kiekvieną miestą maršrutas baigtųsi pradiniame mieste.

Grafų teorijoje galima uždavinį performuluoti – kaip rasti mažiausio svorio Hamiltono ciklą grafe su svoriais.

Sprendimo sudėtingumas

Akivaizdžiausias uždavinio sprendimas – visų įmanomų maršrutų perrinkimas. Tačiau tokio sprendimo sudėtingumas N! (miestų skaičiaus faktorialas), taigi didėjant miestų skaičiui sprendimas pasidaro nepraktiškas.

Tikslūs sprendimai

Tikslų atsakymą pateikiantys algoritmai sprendžia problemą tik su nedideliu miestų skaičiumi:

• Įvairūs skaldyk ir valdyk algoritmai, dažniausiai tinkami suskaičiuoti sprendimą daugiausiai 40-60 miestų.
• Geriau veikia algoritmai, kurie remiasi tiesiniu programavimu. Tokie algoritmai gali būti efektyviai naudojami tikslaus maršruto tarp 120-200 miestų radimui.

2001 metais buvo suskaičiuotas tikslus maršrutas 15 112 Vokietijos miestų naudojant tiesiniu programavimu paremtą metodą. Skaičiavimui buvo naudojama 110 procesorių tinklas, vienam 500MHz procesoriui būtų prireikę apie 22,6 metų tiems patiems skaičiavimams atlikti.

Euristiniai algoritmai

Įvairūs aproksimaciniai algoritmai gana greitai ir su pakankamai dideliu tikslumu sprendžia keliaujančio pirklio uždavinį. Moderniausi algoritmai gali rasti sprendimus su ypatingai dideliu kiekiu miestų (milijonais) per protingą laiką ir yra įrodyta, kad atsakymas nuo optimalaus sprendimo nėra nutolęs toliau nei 2-3%.

Artimiausio kaimyno metodas

Pradedami nuo kažkurios grafo viršūnės, pastoviai renkamės iš neaplankytų viršūnių pačią „artimiausią“ (su kuo mažesniu briaunos svoriu). Kai nebelieka neaplankytų viršūnių – grįžtame į pradinę.

Pigiausios jungties algoritmas

Pradedami nuo bet kurios grafo viršūnės,

1. Imame mažiausio svorio briauną (jei yra kelios vienodai mažo svorio – renkamės bet kurią). Pasirinktą briauną pažymime.
2. Imame kitą mažiausio svorio briauną ir ją pažymime. Briauna yra tinkama, jei
   1. ji nepažymėta;
   2. ji neuždaro mažesnio ciklo;
   3. ji nėra paskutinė nepažymėta briauna, išeinanti iš vienos viršūnės;
3. kartojame 2 žingsnį, kol gausime Hamiltono ciklą.

2-jų pasirinktųjų sukeitimo algoritmas

Šio algoritmo veikimo principas yra dviejų briaunų panaikinimas, sujungiant viršūnes kitokiu būdu, tikintis gauti trumpesnį maršrutą. Jei pasiūlytas naujasis kelias yra trumpesnis (jei panaikintų briaunų svorių suma didesnė už sujungtų kitokiu būdu), tuomet juo pakeičiame pradinį. Visada yra tik vienas būdas perjungti lankus, kurie įeina į maršrutą, kad išliktų ciklas.