Dangaus mechanika

Dangaus mechanika - astronomijos šaka, tirianti gravitacijos veikiamų kosminių kūnų judėjimą. Nagrinėja dviejų ir daugiau kūnų judėjimo teoriją, skaičiuoja kosminių kūnų orbitas ir efemerides. Remiasi gravitacijos dėsniu, reliatyvumo teorija, trikdžių teorija, chaoso teorija, astrometrija.

Vieno kūno uždavinys

Pats paprasčiausias ir dažniausiai nagrinėjamas atvejis yra du taškiniai (praktikoje - kūnų matmenys daug mažesni už atstumą tarp jų) kūnai, kurių vienas daug masyvesnis už kitą, ir sąveikaujantys gravitacine traukos jėga

${\boldsymbol {F}}=-{\dfrac {GMm}{r^{2}}}{\boldsymbol {\hat {r}}}\,.$

Tai gali būti Žemė, skriejanti aplink Saulę, Mėnulis aplink Žemę, dirbtinis Žemės palydovas ir pan. Tokiu atveju laikoma, kad masyvesnis kūnas nejuda ir yra atskaitos sistemos pradžia. Lengvesnis kūnas skrieja vienoje plokštumoje, o jo orbitą polinėse koordinatėse aprašo lygtis

$r(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \phi }}\,.$

Čia polinis kampas $\phi =0$ atitinka trumpiausią atstumą iki traukos centro (perigėjų, perihelį, …). Orbitos parametrai yra didysis pusašis $a$ ir ekscentricitetas $e$, kurį galima apskaičiuoti žinant pilną skriejančio kūno energiją $E$ (kinetinė plius potencinė) ir kampinį judesio kiekį $l$:

$e={\sqrt {1+{\frac {2El^{2}}{G^{2}M^{3}}}}}\,.$

Čia $G$ yra gravitacinė konstanta, o $M$ - traukos centro (pvz., Saulės) masė. Priklausomai nuo ekscentriciteto reikšmės, orbita gali būti:

• apskritiminė: $e=0\,\!$,
• eliptinė: $0<e<1\,\!$,
• parabolinė: $e=1\,\!$,
• hiperbolinė: $e>1\,\!$.

Dviejų kūnų uždavinys

Kai sąveikauja du panašios masės taškiniai kūnai $m_{1}$ ir $m_{2}$ (pvz., dvinarė žvaigždė), tokį atvejį galima transformuoti į vieno kūno uždavinį. Reikia įsivaizduoti menamą redukuotos masės

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

kūną, kuris skrieja aplink bendrą masių centrą $M=m_{1}+m_{2}$. Tada redukuoto kūno orbitai galioja tos pačios formulės, kaip ir vieno kūno atveju. Atstumas $r$ atitinka atstumą tarp abiejų sąveikaujančių kūnų, o masės centro padėtį galima rasti iš pusiausvyros lygties

$m_{1}r_{1}=m_{2}r_{2}\,,$

o atstumas tarp kūnų bus

$r=r_{1}+r_{2}\,.$

Abu kūnai ir tarp jų esantis masės centras yra vienoje tiesėje, kuri visada guli toje pačioje plokštumoje.