Hiugenso ir Frenelio principas

Bangos lūžis, interpretuotas su Hiugenso ir Frenelio principo pagalba.

Bangos difrakcija, interpretuota su Hiugenso ir Frenelio principo pagalba.

Hiugenso ir Frenelio principas (pavadintas pagal danų fiziką Christianą Hiugensą ir prancūzų fiziką Augustiną Žan Frenelį) yra fizikinis principas, taikomas bangų sklidimo uždavinių analizėje. Jis teigia, kad kiekvienas sklindančios bangos paviršiaus taškas yra antrinių koherentinių bangų voros šaltinis. Besiplečianti banga šioje interpretacijoje gali būti įsivaizduota kaip visų antrinių bangų, sklindančių iš ankstesnių taškų, interferencija.

Pavyzdžiui, jei du kambariai yra sujungti praėjimu ir viename iš kambarių sukuriamas garsas nuo praėjimo nutolusiame kampe, asmuo, esantis antrame kambaryje, girdės šį garsą, lyg jis sklistų iš praėjimo. Kol nagrinėjamas garsas antrame kambaryje, jo šaltinis yra oro virpesiai praėjime tarp kambarių. Panašiu būdu vyksta ir šviesos bangų difrakcija, kuomet šviesa sutinka kliūtį, tačiau tai sunkiai pastebima kasdienybėje dėl trumpų regimos šviesos bangos ilgių

Hiugenso ir Frenelio principas formaliai seka iš kvantinės elektrodinamikos fundamentinių postulatų, tegiančių, kad kiekvieno objekto banginė funkcija sklinda visais įmanomais keliais iš šaltinio į nagrinėjamą tašką. Tokiu būdu šis principas yra visų kelio integralų, apibrėžiančių objekto banginės funkcijos amplitudę ir fazę interferencijos (sudėties) pasekmė bei apibrėžia tikimybę aptikti objektą (tarkim fotoną) nagrinėjamame taške. Ne tik šviesos kvantai (fotonai), bei ir elektronai, neutronai, protonai, atomai, molekulės bei kiti nepaminėti objektai paklūsta šiam paprastam principui.

Difrakcija pro plyšį

Tegu banga, sklindanti iš taškinio šaltinio turi amplitudę $\psi$ taške r, tuomet amplitudė yra bangų lygties dažnių erdvėje sprendinys

$\nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta ({\mathbf {r}})$

kur $\delta ({\mathbf {r}})$ yra trimatė delta funkcija. Delta funkcija turi tik radialinę priklausomybę, todėl Laplaso operatorius (skaliarinis Laplasianas) sferinėse koordinatėse gali būti supaprastintas iki

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )$

Tiesiogiai įstatę, galime įsitikinti, kad šios lygties sprendinys yra skaliarinė Gryno funkcija, kuri sferinėse koordinatėse (bei naudojant "fizikinę" laikinę priklausomybę $e^{-i\omega t}$) užrašoma taip:

$\psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}$

Šis sprendinys teigia, kad delta funkcijos šaltinis yra koordinačių sistemos pradžioje. Kuomet šaltinio padėtis yra taškas, į kurį iš koordinačių sistemos pradžios eina vektorius ${\mathbf {r}}'$, o nagrinėjamas bangos taškas yra apibrėžiamas vektoriumi ${\mathbf {r}}$, tuomet mes galime užrašyti skaliarinę Gryno funkcija taip

$\psi ({\mathbf {r}}|{\mathbf {r}}')={\frac {e^{ik|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}{4\pi |{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}$

Tokiu būdu, jei elektrinis laukas, E_inc(x,y) krenta į plyšį, elektrinis laukas už plyšio yra surandamas iš sekančio paviršinio integralo:

$\Psi (r)\propto \int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')~{\frac {e^{ik|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}{4\pi |{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\,dx'\,dy',$

kur šaltinio taškas plyšyje yra

${\mathbf {r}}'=x'{\mathbf {\hat {x}}}+y'{\mathbf {\hat {y}}}$

Tolimoje srityje (tolimasis laukas), kuomet iš plyšio sklindantis spinduliai yra apytiksliai lygiagretūs, Gryno funkcija

$\psi ({\mathbf {r}}|{\mathbf {r}}')={\frac {e^{ik|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}{4\pi |{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}$

gali būti supaprastintai užrašyta kaip

$\psi ({\mathbf {r}}|{\mathbf {r}}')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik({\mathbf {r}}'\cdot {\mathbf {\hat {r}}})}$

Bangos amplitudės išraika tolimajame lauke (arba Frauenhoferio difrakcijos srityje) tampa

$\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')e^{-ik({\mathbf {r}}'\cdot {\mathbf {\hat {r}}})}\,dx'\,dy',$

Kadangi

${\mathbf {r}}'=x'{\mathbf {\hat {x}}}+y'{\mathbf {\hat {y}}}$

ir

${\mathbf {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \phi {\mathbf {\hat {x}}}+\sin \theta ~\sin \phi ~{\mathbf {\hat {y}}}+\cos \theta {\mathbf {\hat {z}}}$

bangos lauko toliamajame lauke išraiška galutinai užrašoma kaip

$\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'$

Tolimesnis išraiškos supaprastinimas gali būti pasiektas pakeitus koordinačių sistema. Tarkim,

$k_{x}=k\sin \theta \cos \phi \,\!$

ir

$k_{y}=k\sin \theta \sin \phi \,\!$

Gauname, kad Frauenhoferio difrakcijos metu, plokščią plyšį apšvietusi šviesa, už plyšio yra aprašoma integralu, esančiu kritusios šviesos Furjė atvaizdu.

$\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\int \!\!\!\int _{\mathrm {aperture} }E_{inc}(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',$

Tokiu būdu, toli nuo plyšio, pro plyšį praėjusios šviesos laukas yra erdvinis elektrinio lauko plyšyje Furjė atvaizdas. Hiugenso principas pritaikytas difrakcijai pro plyšį teigia, kad tolimasis bangos laukas neša savyje informaciją apie jį sukūrusį plyšį.