Kompleksinis skaičius

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

$z=(a,b)=a+b\cdot i=Re(z)+iIm(z)$,

kur a ir b – realieji skaičiai, o $i=(0,1)$ – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

$i^{2}=-1$

Nors priimta, kad $i={\sqrt {-1}}$, tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis (žr. menamasis vienetas).

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

$\mathbb {C} =\{a+b\cdot i;a,b\in \mathbb {R} \}$

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Sudėtis

$(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)\,$

Atimtis

$(a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i=(ac-bd,ad+bc)\,$

• $a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a,0)=a$
• $b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=0+bi=(0,b)=bi$

Dalyba

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\cdot i=({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}),$

• ${\frac {(a,b)}{(a,b)}}={\frac {a+bi}{a+bi}}=1+0i=(1,0)=1$.
• ${\frac {1}{(c,d)}}={\frac {(1,0)}{(c,d)}}={\frac {1+0i}{c+di}}={\frac {c}{c^{2}+d^{2}}}+({\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})i=({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}})$.

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,$

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

$(a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\quad {\text{ir}}\quad i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1.$

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai ("nulį"): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai ("vienetą"): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
• atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b): $\left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).$

Kompleksinių skaičių plokštuma

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos ($z=(a,b)=a+b\cdot i$) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

$z=r(\cos \varphi \ +i\sin \varphi \ )=re^{i\varphi }$,

Čia

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$,

$\cos \varphi \ ={\frac {a}{r}},$,

$\sin \varphi \ ={\frac {b}{r}},$.

Formulė kai $r=1$ yra vadinama Oilerio formule: $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$.

Šiuo atveju kompleksinis skaičius $(a,b)$ turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas $\phi$ yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). $r$ yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

$z=z_{1}z_{2}=r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\,$

dalyba:

$z={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}.\,$

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

$z^{n}={\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }=r^{n}(\cos {n\varphi }+i\sin {n\varphi })\,$

Šaknies traukimo operacija:

$\omega ={\sqrt[{n}]{z}}$, $\omega \ _{k}={\sqrt[{n}]{r}}(\cos {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}})$ – egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.