Menamasis skaičius

Šį straipsnį ar jo skyrių reikėtų peržiūrėti.
Būtina ištaisyti gramatines klaidas, patikrinti rašybą, skyrybą, stilių ir pan.
Ištaisę pastebėtas klaidas, ištrinkite šį pranešimą.

Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus.
Jei galite, sutvarkykite.

Šablonas:Mvar laipsniai yra cikliški:
$\ \vdots$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$
$i$ is a 4th root of unity

Menamasis skaičius yra realusis skaičius padaugintas iš menamojo vieneto Šablonas:Mvar, kuris apibrėžiamas lygtimi $i 2 = -1$ . ^[1]^[2] Menamojo skaičiaus Šablonas:Mvar kvadratas yra $- b 2$ . Pavyzdžiui, $5 i$ yra menamasis skaičius, o jo kvadratas yra $-25$ . Skaičius nulis yra laikomas ir realusis, ir menamasis.^[3]

Menamųjų skaičių sąvoka XVII a. buvo įvesta Renė Dekarto^[4] kaip menkinantis terminas ir buvo laikomas kaip išsigalvotas ar beprasmis, o vėliau buvo plačiai pripažintas dėka Leonardo Oilerio (XVIII a.), Ogiusteno Lui Koši ir Karlo Frydricho Gauso (XIX a. pr.) darbų.

Menamasis skaičius $bi$ gali būti sudėtas su realiuoju skaičiumi Šablonas:Mvar, sudarant kompleksinį skaičių $a + bi$ , kur Šablonas:Mvar ir Šablonas:Mvar yra vadinami atitinkamai kompleksinio skaičiaus realiąja dalimi ir menamąja dalimi.^[5]

Istorija

Pagrindinis straipsnis – Kompleksinių skaičių istorija.

Nors graikų matematikas ir inžinierius Heronas iš Aleksandrijos yra žinomas kaip pirmasis, pateikęs skaičiavimą, kuriame naudojama neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis^[6]^[7], 1572 m. kompleksinių skaičių daugybos taisykles pirmą kartą nustatė Rafaelis Bombelli. Ši sąvoka spaudoje pasirodė anksčiau, pavyzdžiui, Gerolamo Cardano darbe. Tuo metu menamieji skaičiai ir neigiami skaičiai buvo menkai suprantami, o kai kurie juos laikė fiktyviais ar nenaudingais, panašiai kaip kadaise buvo nulis. Daugelis kitų matematikų vangiai pradėjo naudoti menamuosius skaičius, įskaitant Rene Dekartą, kuris apie juos rašė savo knygoje „Geometrija“, kuriame sukūrė terminą „menamasis“ (angl. „imaginary") ir nurodė, kad jis yra menkinantis. ^[8]^[9] Menamųjų skaičių naudojimas nebuvo plačiai priimtas iki Leonhardo Eulerio (1707–1783) ir Karlo Frydricho Gauso (1777–1855).

Menamųjų skaičių naudojimo idėją toliau plėtojo Viljamas Rovanas Hamiltonas, kuris 1843 m. išplėtė menamųjų skaičių ašies idėją plokštumoje į keturmatę Kvaternijonų menamųjų skaičių erdvę kompleksiniame lauke.

Geometrinis paaiškinimas

Šiame pavaizdavime daugyba iš Šablonas:Mvar atitinka sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę 90 laipsnių kampu apie pradžią, kuri yra ketvirtadalis apskritimo. Daugyba iš by $- i$ atitinka 90 laipsnių sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę apie pradžią. Atitinkamai, Šablonas:Mvar padauginus iš grynai menamojo skaičiaus Šablonas:Mvar, kai Šablonas:Mvar yra realusis skaičius, abu pasisuka prieš laikrodžio rodyklę apie pradžią 90 laipsnių kampu ir atsakymą padidina koeficientu Šablonas:Mvar. Kai $b < 0$ , tai galima apibūdinti kaip sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę 90 laipsnių kampu ir a mastelio keitimą $|b|$ .^[12]

Išnašos

↑ Uno Ingard, K. (1988). „Chapter 2“. Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.
↑ Weisstein, Eric W. „Imaginary Number“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2020-08-10.
↑ Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second leid.). Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated leid.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
↑ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th leid.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.
↑ Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry (2 leid.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.
↑ Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
↑ Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
↑ von Meier, Alexandra (2006). Electric Power Systems – A Conceptual Introduction. John Wiley & Sons. pp. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Nuoroda tikrinta 2022-01-13.
↑ Webb, Stephen (2018). „5. Meaningless marks on paper“. Clash of Symbols – A Ride Through the Riches of Glyphs. Springer Science+Business Media. pp. 204–205. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.
↑ Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press. pp. 10–11. ISBN 0-691-10298-8. Nuoroda tikrinta 2022-01-13.

Literatūra

Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., paaiškina daugelį menamųjų skaičių pritaikymų.

Taip pat skaitykite

Kompleksiniai skaičiai

Matematinės konstantos

[1] Uno Ingard, K. (1988). „Chapter 2“. Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.

[2] Weisstein, Eric W. „Imaginary Number“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2020-08-10.

[3] Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second leid.). Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.

[4] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated leid.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121

[5] Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th leid.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.

[6] Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry (2 leid.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.

[7] Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.

[8] Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)

[Martinez-9] Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.

[Meier-10] von Meier, Alexandra (2006). Electric Power Systems – A Conceptual Introduction. John Wiley & Sons. pp. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Nuoroda tikrinta 2022-01-13.

[11] Webb, Stephen (2018). „5. Meaningless marks on paper“. Clash of Symbols – A Ride Through the Riches of Glyphs. Springer Science+Business Media. pp. 204–205. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.

[12] Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press. pp. 10–11. ISBN 0-691-10298-8. Nuoroda tikrinta 2022-01-13.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]