Kvadratinė lygtis

Matematikoje kvadratinė lygtis – antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:

$ax^{2}+bx+c=0\!$

Čia a, b, c – realieji skaičiai, $a\neq 0\,\!.$ Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, b - antruoju koeficientu ir skaičius c - laisvuoju nariu.

Kvadratinės lygtys būna pilnosios (nesuprastintos arba suprastintos) ir nepilnosios. Kai a = 1, turima lygtis $x^{2}+bx+c$ dažnai vadinama redukuotaja kvadratine lygtimi.

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^{2}+bx+c=0\,$, kai $a\neq 0\,\!,$ $b\neq 0\,\!,$ $c\neq 0\,\!.$

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

$D=b^{2}-4ac\,$

Tada galimi trys atvejai:

• Jei $D>0\,\!$ tai lygtis turi du skirtingus sprendinius:

  ${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

• Jei $D=0\,\!$, tai lygtis turi vieną sprendinį:

$x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis.

Įrodymas :

${\begin{aligned}&a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,\,\,/\cdot \,4a\\&4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4axb+4ac=0\\&\underbrace {4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4axb+{{b}^{2}}} _{}-{{b}^{2}}+4ac=0\\&{{\left(2ax+b\right)}^{2}}={{b}^{2}}-4ac\\&2ax+b=\pm {\sqrt {{{b}^{2}}-4ac}}\\&{{x}_{1,2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {{{b}^{2}}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

• Jei $D<0\,\!$, tai lygtis neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje. Tokios lygties sprendiniai yra du kompleksiniai skaičiai:

  ${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$

kur ${\begin{aligned}i\end{aligned}}$ yra menamasis vienetas

Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą. Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos ${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\end{cases}}$

Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.

Radus sprendinius, galioja lygybė:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,$

Nepilnoji kvadratinė lygtis

Nepilnoji kvadratinė lygtis yra tokia kvadratinė lygtis, kurios bent vienas iš koeficientų b ir c yra lygus 0. Bendra forma:

$ax^{2}=b\,$

Sprendimas:

${\begin{aligned}x^{2}&={\frac {b}{a}}\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {\frac {b}{a}}}\end{aligned}}$

Kvadratinė lygtis, kurios ${\textstyle {c=0}}$

Bendra forma:

$ax^{2}+bx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

${\begin{aligned}x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}$

Bikvadratinė lygtis

Su kvadratine lygtimi susijusi yra bikvadratinė lygtis $ax^{4}+bx^{2}+c=0$, kuri paverčiama kvadratine lygtimi $y^{2}+by+c$ pritaikius keitinį $x^{2}=y$. Išsprendus lygtį, gaunamos y reikšmės, o iš jų apskaičiuojamos atitinkamos x reikšmės. Jeigu $y_{1}>0$ ir $y_{2}>0$ bikvadratinė lygtis turi 4 sprendinius, jeigu viena iš y reikšmių yra neigiama, lygtis turi 2 sprendinius, kitu atveju lygtis sprendinių neturi.

Taip pat skaitykite

• Kvadratinė funkcija
• Vijeto teorema