Simpsono taisyklė

Funkcija f(x) (mėlyna) apytikriai keičiama parabolės funkcija P(x) (raudona).

Simpsono taisyklė – integralo apytikslio skaičiavimo metodas, apytikriai keičiant integruojamą funkciją parabolės lanku. Algoritmas randa apytikslę skaitinę integralo

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx.$

reikšmę.

Vieno žingsnio algoritmas

Integruojama funkcija $f(x)$ keičiama interpoliaciniu polinomu – kvadratine funkcija $P(x)$, kuri parenkama taip, kad integruojamos funkcijos ir interpoliacinio polinomo reikšmės sutaptų integruojamo intervalo kraštuose bei jo viduryje (m=(a+b)/2). Tokios parabolės lygtis yra

$P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)} .$

ir tuomet ieškoma integralo reikšmė lygi

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$

Integravimo paklaida lygi

$-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),$.

kur $h=(b-a)/2$ ir $\xi$ yra bet kokia reikšmė tarp $a$ ir $b.$

Sudėtinė Simpsono taisyklė

Jei vieno žingsnio algoritmo tikslumo nepakanka, apibrėžtinio integralo intervalas suskaidomas į pasirinktą skaičių lygaus ilgio dalių, kurių kiekvienam ši taisyklė pritaikoma atskirai. Gautos reikšmės sudedamos:

$\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],$

kur $n$ yra dalių, į kurias suskirstomas integruojamas intervalas, skaičius (turi būti lyginis), o $x_i=a+ih$ for $i=0, 1, ..., n-1, n$ (taip pat $x_0=a$ ir $x_n=b.$).

arba (tas pats)

$\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg].$

Didžiausia galima integravimo paklaida tuomet lygi

$-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi),$

kur $h$ yra integravimo žingsnio ilgis ($h=(b-a)/n.$)

Nuorodos

• http://mathworld.wolfram.com/SimpsonsRule.html