Funkcija f (x ) (mėlyna) apytikriai keičiama parabolės funkcija P (x ) (raudona). Simpsono taisyklė – integralo apytikslio skaičiavimo metodas , apytikriai keičiant integruojamą funkciją parabolės lanku. Algoritmas randa apytikslę skaitinę integralo
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
reikšmę.
Integruojama funkcija
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
m=(a+b)/2 ). Tokios parabolės lygtis yra
P
(
x
)
=
f
(
a
)
(
x
−
m
)
(
x
−
b
)
(
a
−
m
)
(
a
−
b
)
+
f
(
m
)
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
(
m
−
a
)
(
m
−
b
)
+
f
(
b
)
(
x
−
a
)
(
x
−
m
)
(
b
−
a
)
(
b
−
m
)
.
{\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
ir tuomet ieškoma integralo reikšmė lygi
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∫
a
b
P
(
x
)
d
x
=
b
−
a
6
[
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
b
2
)
+
f
(
b
)
]
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}
Integravimo paklaida lygi
−
h
5
90
f
(
4
)
(
ξ
)
,
{\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),}
kur
h
=
(
b
−
a
)
/
2
{\displaystyle h=(b-a)/2}
ξ
{\displaystyle \xi }
a
{\displaystyle a}
b
.
{\displaystyle b.}
Jei vieno žingsnio algoritmo tikslumo nepakanka, apibrėžtinio integralo intervalas suskaidomas į pasirinktą skaičių lygaus ilgio dalių, kurių kiekvienam ši taisyklė pritaikoma atskirai. Gautos reikšmės sudedamos:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
3
[
f
(
x
0
)
+
2
∑
j
=
1
n
/
2
−
1
f
(
x
2
j
)
+
4
∑
j
=
1
n
/
2
f
(
x
2
j
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},}
kur
n
{\displaystyle n}
x
i
=
a
+
i
h
{\displaystyle x_{i}=a+ih}
i
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
,
n
{\displaystyle i=0,1,...,n-1,n}
x
0
=
a
{\displaystyle x_{0}=a}
x
n
=
b
.
{\displaystyle x_{n}=b.}
arba (tas pats)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
3
[
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
2
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
.
.
.
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}
Didžiausia galima integravimo paklaida tuomet lygi
−
h
4
180
(
b
−
a
)
f
(
4
)
(
ξ
)
,
{\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}
kur
h
{\displaystyle h}
h
=
(
b
−
a
)
/
n
.
{\displaystyle h=(b-a)/n.}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f1d1ac9323e612913e66df8d1df6e2ae6085c6)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b2070b3485a1e013e6c1d72e5fea9581a65094)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366dd235944e218c6f01945c0d650654ad80a953)
