Simpsono taisyklė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Funkcija f(x) (mėlyna) apytikriai keičiama parabolės funkcija P(x) (raudona).

Simpsono taisyklėintegralo apytikslio skaičiavimo metodas, apytikriai keičiant integruojamą funkciją parabolės lanku. Algoritmas randa apytikslę skaitinę integralo

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx.

reikšmę.

Vieno žingsnio algoritmas[taisyti | redaguoti kodą]

Integruojama funkcija f(x) keičiama interpoliaciniu polinomu – kvadratine funkcija P(x), kuri parenkama taip, kad integruojamos funkcijos ir interpoliacinio polinomo reikšmės sutaptų integruojamo intervalo kraštuose bei jo viduryje (m=(a+b)/2). Tokios parabolės lygtis yra

P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+
f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+
f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}
.

ir tuomet ieškoma integralo reikšmė lygi

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

Integravimo paklaida lygi

-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),.

kur h=(b-a)/2 ir \xi yra bet kokia reikšmė tarp a ir b.

Sudėtinė Simpsono taisyklė[taisyti | redaguoti kodą]

Jei vieno žingsnio algoritmo tikslumo nepakanka, apibrėžtinio integralo intervalas suskaidomas į pasirinktą skaičių lygaus ilgio dalių, kurių kiekvienam ši taisyklė pritaikoma atskirai. Gautos reikšmės sudedamos:

\int_a^b f(x) \, dx\approx 
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg],

kur n yra dalių, į kurias suskirstomas integruojamas intervalas, skaičius (turi būti lyginis), o x_i=a+ih for i=0, 1, ..., n-1, n (taip pat x_0=a ir x_n=b.).

arba (tas pats)

\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg].

Didžiausia galima integravimo paklaida tuomet lygi

-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi),

kur h yra integravimo žingsnio ilgis (h=(b-a)/n.)

Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]